Miscele gassose
Salve a tutti ho questo problema: "In un recipiente di volume V alla temperatura di 350K sono presenti C3H8 e O2 alla pressione di 10 atm. Facendo scoccare una scintilla avviene la combustione della miscela. Sapendo che la pressione finale risulta di 11 atm e la frazione molare di O2 residuo è pari a 0.10 si determini la densità della miscela gassosa di partenza".
Non sono riuscito a fare molto se non alcune riflessioni..ad esempio so che C3H8 è il reagente limitante perché c'è O2 residuo poi ho scritto e bilanciato la reazione di combustione.
Non riesco a procedere, potete aiutarmi?
Non sono riuscito a fare molto se non alcune riflessioni..ad esempio so che C3H8 è il reagente limitante perché c'è O2 residuo poi ho scritto e bilanciato la reazione di combustione.
Non riesco a procedere, potete aiutarmi?
Risposte
Ciao Cenzin.
Provo a risponderti. Partiamo dalla reazione ipotizzando una combustione completa - perfettamente giustificabile dato che l'ossigeno è in eccesso:
Ipotizziamo inoltre che nel recipiente di volume $V$ sia presente $1$ mole di propano: in questo modo sappiamo che a fine reazione abbiamo $3$ moli di anidride carbonica, $4$ moli di acqua e stando alla consegna un po' di ossigeno.
Quanto ce n'è di questo ossigeno residuo?
Sappiamo che la sua frazione molare finale ammonta a $0,1$, cioè
\[{x_{{O_2},finale}} = \frac{{{n_{{O_2}}}}}{{{n_{C{O_2}}} + {n_{{H_2}O}} + {n_{{O_2}}}}} = 0,1\]
dove $n_i$ rappresentano le diverse moli presenti nel recipiente al termine della reazione. Quindi sostituendo i valori otteniamo
\[{n_{{O_2}}} = \frac{{0,7}}{{0,9}} \simeq 0,78{\text{ mol}}\]
Ciò implica che, prima della reazione, nel recipiente erano presenti la mole di propano con $5+0,78=5,78$ moli di ossigeno, per un totale di $6,78$ moli. Allontaniamoci però da questi valori (perché sarebbero veri solo se la quantità iniziale di propano fosse effettivamente $1$ mole), e ricaviamo invece le frazioni molari iniziali (che essendo rapporti non cambiano per valori iniziali diversi): all'inizio la frazione molare del propano vale $0,15$, mentre quella dell'ossigeno $0,85$.
A questo punto entra in gioco l'equazione dei gas perfetti, che possiamo riscriverla come:
\[R = \frac{{P \cdot V}}{{n \cdot T}} = \frac{{P \cdot M}}{{T \cdot \rho }}\]
$M$ è la massa molare iniziale del sistema, che vale:
\[M = \left( {12 \cdot 3 + 1 \cdot 8} \right) \cdot 0,15 + \left( {16 \cdot 2} \right) \cdot 0,85 = 33,77{\rm{ }}\frac{{{\rm{g}}}}{{{\rm{mol}}}}\]
Dunque la densità iniziale $rho$ ammonta a:
\[\rho = \frac{{P \cdot M}}{{R \cdot T}} = \frac{{10{\text{ atm}} \cdot 33,77\frac{{{\text{g}}}}{{{\text{mol}}}}}}{{0,082\frac{{{\text{L}} \cdot {\text{ atm}}}}{{{\text{mol}} \cdot {\text{K}}}} \cdot 350{\text{ K}}}} = 11,77\frac{{{\text{g}}}}{{{{\text{L}}}}}\]
Provo a risponderti. Partiamo dalla reazione ipotizzando una combustione completa - perfettamente giustificabile dato che l'ossigeno è in eccesso:
$C_3H_8+5O_2 -> 3CO_2 + 4H_2O$
Ipotizziamo inoltre che nel recipiente di volume $V$ sia presente $1$ mole di propano: in questo modo sappiamo che a fine reazione abbiamo $3$ moli di anidride carbonica, $4$ moli di acqua e stando alla consegna un po' di ossigeno.
Quanto ce n'è di questo ossigeno residuo?
Sappiamo che la sua frazione molare finale ammonta a $0,1$, cioè
\[{x_{{O_2},finale}} = \frac{{{n_{{O_2}}}}}{{{n_{C{O_2}}} + {n_{{H_2}O}} + {n_{{O_2}}}}} = 0,1\]
dove $n_i$ rappresentano le diverse moli presenti nel recipiente al termine della reazione. Quindi sostituendo i valori otteniamo
\[{n_{{O_2}}} = \frac{{0,7}}{{0,9}} \simeq 0,78{\text{ mol}}\]
Ciò implica che, prima della reazione, nel recipiente erano presenti la mole di propano con $5+0,78=5,78$ moli di ossigeno, per un totale di $6,78$ moli. Allontaniamoci però da questi valori (perché sarebbero veri solo se la quantità iniziale di propano fosse effettivamente $1$ mole), e ricaviamo invece le frazioni molari iniziali (che essendo rapporti non cambiano per valori iniziali diversi): all'inizio la frazione molare del propano vale $0,15$, mentre quella dell'ossigeno $0,85$.
A questo punto entra in gioco l'equazione dei gas perfetti, che possiamo riscriverla come:
\[R = \frac{{P \cdot V}}{{n \cdot T}} = \frac{{P \cdot M}}{{T \cdot \rho }}\]
$M$ è la massa molare iniziale del sistema, che vale:
\[M = \left( {12 \cdot 3 + 1 \cdot 8} \right) \cdot 0,15 + \left( {16 \cdot 2} \right) \cdot 0,85 = 33,77{\rm{ }}\frac{{{\rm{g}}}}{{{\rm{mol}}}}\]
Dunque la densità iniziale $rho$ ammonta a:
\[\rho = \frac{{P \cdot M}}{{R \cdot T}} = \frac{{10{\text{ atm}} \cdot 33,77\frac{{{\text{g}}}}{{{\text{mol}}}}}}{{0,082\frac{{{\text{L}} \cdot {\text{ atm}}}}{{{\text{mol}} \cdot {\text{K}}}} \cdot 350{\text{ K}}}} = 11,77\frac{{{\text{g}}}}{{{{\text{L}}}}}\]
Grazie mille!
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