Microeconomia - Condizione di tangenza funzione di utilità

[angelo.digiacomantonio]

Ciao a tutti,

vi scrivo per un supporto riguardo un esercizio di Microeconomia sulle scelte intertemporali.

Ho una funzione utilità del tipo:

$U=aln(R_(t)-S_(t))+bln[R_(t+1)+S_(t)(1+i_(t))]$

Devo massimizzare questa funzione e, per fare ciò, ho bisogno di ottenere la condizione di tangenza. Qui nasce il mio problema (di natura matematica, ovviamente):

La condizione di tangenza di ottiene con $(dU)/(dS_t)$ e quindi devo derivare la $U$ rispetto ad $S_t$; posto che:

$C_t=(R_(t)-S_(t))$

$C_(t+1)=[R_(t+1)+S_(t)(1+i_(t))]$

secondo i miei calcoli la funzione utilità dovrebbe essere così:

$U=a(1/C_t)+b(1/(C_(t+1)))$

ma, aimè, il libro mi dice il contrario; secondo l'esercizio guida la funzione dovrebbe essere così:

$U=-a(1/(C_t))+b(1/(C_(t+1)))(i+i_t)$

Come mai ho all'inizio $-a$ ed $(i+i_t)$ moltiplica $1/(C_(t+1))$, nonostante $C_(t+1)=[R_(t+1)+S_(t)(1+i_(t))]$?

Vi chiedo cortesemente di aiutarmi a chiarire questo passaggio...non sono proprio riuscito a spiegarmelo!
Grazie in anticipo a tutti!

[Studente Anonimo]

"angelo.digiacomantonio":Ciao a tutti,

vi scrivo per un supporto riguardo un esercizio di Microeconomia sulle scelte intertemporali.

Ho una funzione utilità del tipo:

$U=aln(R_(t)-S_(t))+bln[R_(t+1)+S_(t)(1+i_(t))]$

Devo massimizzare questa funzione e, per fare ciò, ho bisogno di ottenere la condizione di tangenza. Qui nasce il mio problema (di natura matematica, ovviamente):

La condizione di tangenza di ottiene con $(dU)/(dS_t)$ e quindi devo derivare la $U$ rispetto ad $S_t$; posto che:

$C_t=(R_(t)-S_(t))$

$C_(t+1)=[R_(t+1)+S_(t)(1+i_(t))]$

secondo i miei calcoli la funzione utilità dovrebbe essere così:

$U=a(1/C_t)+b(1/(C_(t+1)))$

ma, aimè, il libro mi dice il contrario; secondo l'esercizio guida la funzione dovrebbe essere così:

$U=-a(1/(C_t))+b(1/(C_(t+1)))(i+i_t)$

Come mai ho all'inizio $-a$ ed $(i+i_t)$ moltiplica $1/(C_(t+1))$, nonostante $C_(t+1)=[R_(t+1)+S_(t)(1+i_(t))]$?

Vi chiedo cortesemente di aiutarmi a chiarire questo passaggio...non sono proprio riuscito a spiegarmelo!
Grazie in anticipo a tutti!

Se consideri la tua funzione di utilità $U=aln(R_t-S_t)+bln[R_(t+1)+S_t(1+i_t)]$ e fai la derivata rispetto a $S_t$ ottieni:
$(dU)/(dS_t)=-a/(R_t-S_t)+(b(1+i_t))/[R_(t+1)+S_t(1+i_t)]=-a/C_t+(b(1+i_t))/C_(t+1)$.
Questo perchè? La derivata della funzione $f(x)=ln[g(x)]$ è questa $f'(x)=(g'(x))/g(x)$.

[angelo.digiacomantonio]

@anonymous_c5d2a1 ti ringrazio ho capito benissimo ora...ero solo un pò arrugginito con le derivate su funzioni logaritmiche

[Studente Anonimo]

Di nulla.