Indovinello di TdG
Considerate il seguente gioco:
Ci sono cinque giocatori. Il banco mette a disposizione 1000 euro. Ogni giocatore sceglie una quantità di denaro da offrire al banco (quantità che non gli verrà restituita). In cambio ottiene la percentuale dei 1000 euro equivalente al rapporto tra la somma da lui offerta e il totale delle somme offerte. Per esempio se ogni giocatore offre 1 euro otterrà 200 euro dal banco, e, poiché l'euro non gli viene restituito, il suo guadagno sarà di 199 euro.
Quanto offrireste?
Ci sono cinque giocatori. Il banco mette a disposizione 1000 euro. Ogni giocatore sceglie una quantità di denaro da offrire al banco (quantità che non gli verrà restituita). In cambio ottiene la percentuale dei 1000 euro equivalente al rapporto tra la somma da lui offerta e il totale delle somme offerte. Per esempio se ogni giocatore offre 1 euro otterrà 200 euro dal banco, e, poiché l'euro non gli viene restituito, il suo guadagno sarà di 199 euro.
Quanto offrireste?
Risposte
se i 5 giocatori sono in grado di accordarsi, si potrebbe offrire 1 centesimo, o anche meno....
mm...però in questo caso avrebbero incentivo a deviare..
Se uno ha incentivo a deviare, ovviamente devia; ma allora anche gli altri cambieranno strategia.
In un certo senso viene fuori un sistema dinamico. Un'altro modo di vedere il problema è quindi di capire se vi sono punti di equilibrio e se sono eventualmente stabili globalmente.
In un certo senso viene fuori un sistema dinamico. Un'altro modo di vedere il problema è quindi di capire se vi sono punti di equilibrio e se sono eventualmente stabili globalmente.
ma tutti i giocatori devo per forza offrire la stessa quantità di denaro?
Naturalmente no.
nell'esempio non era chiaro, infatti tutti danno un euro.
Io offrirei zero, non perdendo niente è come avere già vinto.
C'e' la possibilta' di accordi vincolanti fra i giocatori?
Presumo di no, ma va specificato in quanto da questo dipende se lo collochiamo fra i giochi non cooperativi o cooperativi.
Le decisioni sono fatte "contemporaneamemte" (immagino di si') o sequenzialmente?
Quale e' il livello di "granularita'"? Si possono usare solo euro, o anche i cnetesimi? Sotto non si puo' andare? Insomma, lo spazio delle strategie e' finito o infinito?
Presumo di no, ma va specificato in quanto da questo dipende se lo collochiamo fra i giochi non cooperativi o cooperativi.
Le decisioni sono fatte "contemporaneamemte" (immagino di si') o sequenzialmente?
Quale e' il livello di "granularita'"? Si possono usare solo euro, o anche i cnetesimi? Sotto non si puo' andare? Insomma, lo spazio delle strategie e' finito o infinito?
Non è possibile fare accordi vincolanti.
Supponiamo anche che lo spazio delle strategie sia infinito, cioè facciamo finta che un giocatore possa scommettere anche, per esempio, $\pi$ euro.
Inoltre non esistono limiti, anche se, logicamente, nessuno vorrà scommettere più di mille euro.
Supponiamo anche che lo spazio delle strategie sia infinito, cioè facciamo finta che un giocatore possa scommettere anche, per esempio, $\pi$ euro.
Inoltre non esistono limiti, anche se, logicamente, nessuno vorrà scommettere più di mille euro.
Le decisioni sono fatte contemporaneamente.
Io offrirei zero, non perdendo niente è come avere già vinto.
Ma prova a partire dal presupposto che tutti gli altri giocatori facciano il tuo stesso ragionamento, ti conviene ancora non scommettere nulla?
E' un po' come dire: se io parto da questa strategia, gli altri faranno quest'altra strategia, allora a me converrà cambiare strategia, perciò lo faranno anche gli altri...e così via..
Bisogna vedere se ad un certo punto si raggiunge un equilibrio (di Nash). Ovvero ogni giocatore raggiunge una strategia che è in perfetto accordo con quelle degli altri. Quindi la risposta ottima degli altri giocatori dato che io offro $x$ dev'essere un determinato insieme di strategie tali che, dato che gli altri giocatori adottano queste strategie, la mia risposta ottima è offrire $x$ euro.
Forse bisognerebbe chiarire quale dovrebbe essere lo scopo di una strategia, riuscire a “guadagnare” più degli altri o riuscire “guadagnare” la quota messa dal banco, con la minor spesa possibile?
Forse tutti e due?
Allora la penserei così;
Nel secondo caso se tutti farebbero lo stesso ragionamento, e non c’è limite minimo di offerta, tutti guadagnerebbero 200 euro.
Nel primo caso invece, se ognuno vorrebbe guadagnare più degli altri allora sarebbe complicato, credo che alla fine l’unica strategia possibile sarebbe quella di offrire 200 euro, per riceverne altrettanti, supponendo che anche gli altri facciano lo stesso ragionamento, chi vorrebbe offrire più di 200 euro per una quota massima di 200 euro?
Ma forse non è possibile offrire zero?
Così alla fine in questo caso, il banco batte strategicamente i giocatori. ah ah ah
Forse tutti e due?
Allora la penserei così;
Nel secondo caso se tutti farebbero lo stesso ragionamento, e non c’è limite minimo di offerta, tutti guadagnerebbero 200 euro.
Nel primo caso invece, se ognuno vorrebbe guadagnare più degli altri allora sarebbe complicato, credo che alla fine l’unica strategia possibile sarebbe quella di offrire 200 euro, per riceverne altrettanti, supponendo che anche gli altri facciano lo stesso ragionamento, chi vorrebbe offrire più di 200 euro per una quota massima di 200 euro?
Ma forse non è possibile offrire zero?
Così alla fine in questo caso, il banco batte strategicamente i giocatori. ah ah ah
Proviamo a impostare il problema così:
prepariamo una griglia cartesiana :sulla ascisse la nostra puntata; sulle ordinate la somma delle puntate degli altri quattro. Per semplificare, almeno all'inizio, limitiamoci a valori inferiori a 200 e 800 euro per x e y.
Ad ogni punto del piano facciamo corrispondere il valore (1000 x / (x-y) - x cioè la cifra quadagnata puntando x a seconda del valore di y.
Per il range di scommesse che abbiamo preso in esame, si vince sempre, quale che sia la nostra e l'altrui puntata.
Ma il fatto è che, per puntate piccole (tipo 10euro) la zona del piano cui corrisponde una vincita decente è molto ridotta. Scommettendo cifre piùconsistenti la probabilità di vincere somme interessanti aumenta, ma anche quella di rimetterci se gli altri esagerano (cioè se sparano più alto di 200 a testa)
A occhio, mi sembra che una puntata tra 80 e 120 euro sia un buon compromesso.
(se qualcuno fosse capace di produrre il grafico descritto, magari con "isoipse" e differenti colorazioni a identificare differenti guadagni....)
prepariamo una griglia cartesiana :sulla ascisse la nostra puntata; sulle ordinate la somma delle puntate degli altri quattro. Per semplificare, almeno all'inizio, limitiamoci a valori inferiori a 200 e 800 euro per x e y.
Ad ogni punto del piano facciamo corrispondere il valore (1000 x / (x-y) - x cioè la cifra quadagnata puntando x a seconda del valore di y.
Per il range di scommesse che abbiamo preso in esame, si vince sempre, quale che sia la nostra e l'altrui puntata.
Ma il fatto è che, per puntate piccole (tipo 10euro) la zona del piano cui corrisponde una vincita decente è molto ridotta. Scommettendo cifre piùconsistenti la probabilità di vincere somme interessanti aumenta, ma anche quella di rimetterci se gli altri esagerano (cioè se sparano più alto di 200 a testa)
A occhio, mi sembra che una puntata tra 80 e 120 euro sia un buon compromesso.
(se qualcuno fosse capace di produrre il grafico descritto, magari con "isoipse" e differenti colorazioni a identificare differenti guadagni....)
Forse bisognerebbe chiarire quale dovrebbe essere lo scopo di una strategia, riuscire a “guadagnare” più degli altri o riuscire “guadagnare” la quota messa dal banco, con la minor spesa possibile?
Forse tutti e due?
Lo scopo di ogni giocatore è guadagnare (guadagno=ricavi meno costi) il più possibile, indipendentemente da quanto guadagnano gli altri.
Quindi se tutti scommettono la stessa cifra, tutti quadagnano 200 euro meno quanto scommesso.
Se tutti scommettono 200 euro, nessuno guadagna nulla e tutti hanno incentivo a deviare. Infatti se so che gli altri giocatori scommettono 200 euro ciascuno, a me conviene scommettere, per massimizzare il mio guadagno, circa 95 euro (per la precisione $(sqrt800000)-800$). Il problema è che anche gli altri giocatori ragionano al mio stesso modo, quindi decideranno le loro scommesse sulla base del fatto che io scommetto 95 euro. A quel punto il ragionamento si ripete.
Bè: 95 è proprio nel bel mezzo tra 80 e 120 !!!
Una domanda a Cuba; anche tu hai limitato, mi pare, l'analisi ad un massimo di 200 euro a scommessa; ma è, nel tuo come nel mio caso, una presunzione non giustificata.
E fare finta che le cifre scommesse dagli altri siano "random" tra un minimo e un massimo ? Random in modo continuo o "a campana" ?
Una domanda a Cuba; anche tu hai limitato, mi pare, l'analisi ad un massimo di 200 euro a scommessa; ma è, nel tuo come nel mio caso, una presunzione non giustificata.
E fare finta che le cifre scommesse dagli altri siano "random" tra un minimo e un massimo ? Random in modo continuo o "a campana" ?
In questo caso non serve usare le strategie miste, cioè appunto rendere stocastiche le strategie.
O comunque c'è un modo più semplice per risolvere il problema.
Questo problema è molto simile alla ricerca di equilibri di Cournot nel caso di un oligopolio con determinazione simultanea della quantità di prezzo.
Per esempio prendiamo un mercato in cui sono presenti solo due imprese ed entrambe devono decidere quanto produrre e a che prezzo vendere. Ci sono a questo punto quattro possibilità: le decisioni possono essere prese simultaneamente o sequenzialmente (e questa era la giusta domanda di Fioravante, perché la soluzione cambia nei due casi) e possono riguardare i prezzi e le quantità. Il caso di decisione simultanea di quantità è quello esaminato da Cournot nel suo saggio del 1839. Il modello di Cournot arriva ad un equilibrio che è praticamente un equilibrio di Nash.
L'ulteriore possibilità è quella di una collusione (altra corretta domanda di Fioravante) tra le imprese. In questo caso le imprese si mettono d'accordo e quello che decidono di massimizzare non è il profitto dell'iimpresa, ma il profitto dell'industria, (cioè la somma dei profitti delle due imprese) che poi si spartiranno.
Chiaramente la collusione è possibile solo se vi sono adeguate strategie punitive nel caso qualcuno devi. Per esempio se le imprese decidono ogni Gennaio quanto produrre per tutto l'anno e, avendo colluso, si decide di produrre $x$, per mantenere la stabilità del cartello un impresa fa all'altra il seguente annuncio "Se ti attieni al livello di produzione che massimizza il profitto congiunto, bene, altrimenti l'anno prossimo deciderò di produrre ad un livello pari a quello che produrrei in equilibrio di Cournot". Così se un impresa devia, comunque l'anno prossimo il suo guadagno sarà minore di quello di quest'anno.
In realtà poi non è possibile colludere se vi sono solo una quantità finita di tempi, perché, all'ultimo tempo sicuramente ogni impresa devierà, visto che poi non potrà più essere punita. Ma allora anche al penultimo tempo tutti devieranno, perché tanto nel periodo successivo la scelta razionale è quella di scegliere la produzione di equilibrio di Cournot. E così via.
O comunque c'è un modo più semplice per risolvere il problema.
Questo problema è molto simile alla ricerca di equilibri di Cournot nel caso di un oligopolio con determinazione simultanea della quantità di prezzo.
Per esempio prendiamo un mercato in cui sono presenti solo due imprese ed entrambe devono decidere quanto produrre e a che prezzo vendere. Ci sono a questo punto quattro possibilità: le decisioni possono essere prese simultaneamente o sequenzialmente (e questa era la giusta domanda di Fioravante, perché la soluzione cambia nei due casi) e possono riguardare i prezzi e le quantità. Il caso di decisione simultanea di quantità è quello esaminato da Cournot nel suo saggio del 1839. Il modello di Cournot arriva ad un equilibrio che è praticamente un equilibrio di Nash.
L'ulteriore possibilità è quella di una collusione (altra corretta domanda di Fioravante) tra le imprese. In questo caso le imprese si mettono d'accordo e quello che decidono di massimizzare non è il profitto dell'iimpresa, ma il profitto dell'industria, (cioè la somma dei profitti delle due imprese) che poi si spartiranno.
Chiaramente la collusione è possibile solo se vi sono adeguate strategie punitive nel caso qualcuno devi. Per esempio se le imprese decidono ogni Gennaio quanto produrre per tutto l'anno e, avendo colluso, si decide di produrre $x$, per mantenere la stabilità del cartello un impresa fa all'altra il seguente annuncio "Se ti attieni al livello di produzione che massimizza il profitto congiunto, bene, altrimenti l'anno prossimo deciderò di produrre ad un livello pari a quello che produrrei in equilibrio di Cournot". Così se un impresa devia, comunque l'anno prossimo il suo guadagno sarà minore di quello di quest'anno.
In realtà poi non è possibile colludere se vi sono solo una quantità finita di tempi, perché, all'ultimo tempo sicuramente ogni impresa devierà, visto che poi non potrà più essere punita. Ma allora anche al penultimo tempo tutti devieranno, perché tanto nel periodo successivo la scelta razionale è quella di scegliere la produzione di equilibrio di Cournot. E così via.
E fare finta che le cifre scommesse dagli altri siano "random" tra un minimo e un massimo ? Random in modo continuo o "a campana" ?
In quest'altro problema invece le strategie miste intervengono.
Il gioco è lo stesso. Però ci sono 2000 giocatori e tutti possono scommettere 1 euro o 0 euro.
In questo caso un equilibrio di Nash non esiste. Come nel precedente caso, infatti, è chiaro che, se c'è un equilibrio, tutti dovranno giocare, in equilibrio, la stessa quantità. Però se tutti giocano 1, tutti perdono 50 centesimi. Se tutti giocano 0 nessuno guadagna nulla. E in entrambi i casi ogni giocatore ha incentivo a deviare.
Quello che si può fare è assegnare una funzione di probabilità (in questo semplicissimo caso discreta) alle proprie strategie. Per esempio un giocatore può dire, tutti giocano 1 euro con probabilità 50 centesimi e 0 euro con probabilità 50 centesimi. Anzi, meglio, tutti giocano 1 euro con probabilità 30 centesimi e 0 euro con probabilità 70 centesimi. Quindi ogni giocatore prima di decidere lancia un dado, se esce 1 o 2 gioca un euro, se esce 3 4 5 o 6 non gioca nulla. Allora alla fine giocheranno 1 euro approssimativamente il trenta percento dei 2000 giocatori, mentre gli altri non giocheranno. In questo modo qualcuno vince, e altri non guadagnano nulla.
Si tratta ovviamente di scegliere delle corrette funzioni di probabilità.
Lo stesso si può fare se, invece che solo 0 o 1, i 2000 giocatori possono decidere di non scommettere nulla, o scommettere almeno 1 euro. Anche se naturalmente diventa molto più difficile individuare le funzioni di probabilità migliori.
Ciao a tutti,
semplificando il problema mediante riduzione a due giocatori ho trovato (salvo errori di conti) che vi è unico eq. di Nash in (250;250). Con 5 giocatori si complicano i conti, ma come impostazione concettuale non mi pare che la cosa muti.
semplificando il problema mediante riduzione a due giocatori ho trovato (salvo errori di conti) che vi è unico eq. di Nash in (250;250). Con 5 giocatori si complicano i conti, ma come impostazione concettuale non mi pare che la cosa muti.
Giusto.
Con cinque giocatori (il conto in realtà è semplice) tutti offriranno 160
Con cinque giocatori (il conto in realtà è semplice) tutti offriranno 160
Ciao a tutti,
sì e vero, il conto è molto semplice anche con 5 giocatori e fornisce appunto 160 a testa.
sì e vero, il conto è molto semplice anche con 5 giocatori e fornisce appunto 160 a testa.
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