Il fattore rischio....domanda
Se unindividuo è avverso al rischio quale delle seguenti affermazioni è FALSA:
a) scegliera sempre di assicurarsi completamente con mercati assicurativi perfetti
b) la sua funzione di utilita è concava rispetto al reddito
c) tra prospetti incerti aventi lo stesso rendimento atteso scegliera sempre quelli con varianza maggiore
d)l utilita del premio atteso di una scommessa è maggiore dell utilita attesa della scommessa
e) l utilita del premio attesi di una scommessa è minore dell utilita attesa della scomessa
Ragazzi sta domanda non l ho proprio capita.....
a) scegliera sempre di assicurarsi completamente con mercati assicurativi perfetti
b) la sua funzione di utilita è concava rispetto al reddito
c) tra prospetti incerti aventi lo stesso rendimento atteso scegliera sempre quelli con varianza maggiore
d)l utilita del premio atteso di una scommessa è maggiore dell utilita attesa della scommessa
e) l utilita del premio attesi di una scommessa è minore dell utilita attesa della scomessa
Ragazzi sta domanda non l ho proprio capita.....
Risposte
Ciao, ho dimenticato di far notare esplicitamente ,nel precedente post, il ruolo essenziale delle derivate di ordine non inferiore a 3 per "l'inversione della disuguaglianza"; tutto sommato però era evidente.
"luluemicia":
Bellini i controesempi del prof. Patrone; ma lì la u è sì concava ma anche strettamente decrescente.........
avevo detto di controllare i conti! Meno male che qualcuno mi dà retta...
E' che il segno "-" mi fa andare nel panico.
OK, basta cambiare segno alle ascisse dei punti dati e prendere $x^3$
Giusto, vero? Ditemi di sì (mentite anche, se necessario).
Ciao, Prof. Patrone, altro che bellini gli esempi, sono proprio belli (devo confessare che avevo pensato ai cambiamenti che hai detto tu ma sul momento mi era parso che le utilità finali diventassero opposte!; purtroppo sono astemio e, quindi, temo che l'unica spiegazione sia l'inizio della mia vecchiaia! 
). Certo sarebbero bellissimi se i valori delle v.c. fossero positivi (oltre, ovviamente a u strettamente crescente, concava e la preferenza alla v.c. con varianza maggiore e parità di valori medi). Magari fai un altro piccolo aggiustamento........ (così io comincio a bere).
). Certo sarebbero bellissimi se i valori delle v.c. fossero positivi (oltre, ovviamente a u strettamente crescente, concava e la preferenza alla v.c. con varianza maggiore e parità di valori medi). Magari fai un altro piccolo aggiustamento........ (così io comincio a bere).
"luluemicia":
(così io comincio a bere).
beh, basta aggiungere un numero grosso a piacimento: $x^3 + 77$, così diventa positiva nella zone che ci interessa (e i conti non sono "toccati")
però è un aspetto irrilevante: una funzione di utilità di vNM è "definita a meno di una costante additiva e di una costante moltiplicativa positiva" (per parlare come gli economisti)
Ciao Prof. Patrone,
mi sono spiegato male: positivi non i valori dell'utilità calcolata sulle lotterie ma i valori possibili delle lotterie. Per intenderci, rispetto al tuo controesempio, la seconda lotteria, dopo il cambio dei segni assume i valori negativi -0,9; -3,2; -1,95 con probabilità......... (se aggiungo 77 a questi numeri non si perde nulla di quello che ci serve?)
Comunque sono pronto
mi sono spiegato male: positivi non i valori dell'utilità calcolata sulle lotterie ma i valori possibili delle lotterie. Per intenderci, rispetto al tuo controesempio, la seconda lotteria, dopo il cambio dei segni assume i valori negativi -0,9; -3,2; -1,95 con probabilità......... (se aggiungo 77 a questi numeri non si perde nulla di quello che ci serve?)
Comunque sono pronto
"luluemicia":
Ciao Prof. Patrone,
mi sono spiegato male: positivi non i valori dell'utilità calcolata sulle lotterie ma i valori possibili delle lotterie. Per intenderci, rispetto al tuo controesempio, la seconda lotteria, dopo il cambio dei segni assume i valori negativi -0,9; -3,2; -1,95 con probabilità......... (se aggiungo 77 a questi numeri non si perde nulla di quello che ci serve?)
Comunque sono pronto
Avevo capito male
Certo che si può fare quello che chiedi. Basta usare il tapis roulant invece dell'ascensore. E fare in modo di spostare i valori (prizes) coinvolti nelle lotterie a destra dello $0$.
Uno prende come $u(x) = (x - 10)^3 $ e poi usa $-0.9 + 10$; $-3.2 + 10$; $-1.95 + 10$.
Trucco meschino, ma che ci vuoi fare? Cerco sempre di mobilizzare il minimo numero di neuroni.
PS: sono Fioravante Patrone (prof. Patrone semmai agli esami, laddove mi diverto davvero!
)
Ciao,
detta X una v.c. e denotati rispettivamente con M e V il valore medio e la varianza, u una funzione di utilità di un soggetto avverso al rischio sviluppabile in serie di Taylor (di punto iniziale M) con resto di ordine 2 pari a R, si ha:
u(X)=u(M)+12⋅u''(M)⋅V+R
Se scrivo l'analoga espressione per un'altra v.c. con stesso valore medio ma varianza maggiore, i primi addendi dei secondi membri risultano uguali, "sui secondi è maggiore quello di X" perchè u'' è negativa grazie all'avversione al rischio, ma "i resti evidentemente, se non si fanno ulteriori ipotesi, possono rovesciare le disuguaglianze".
Ho capito (mi fido per alcune cose, sulle funzioni di utlità sono quasi analfabeta).
DOMANDA:
I resti di ordine 2, hanno ordini di grandezza appunto di ordine 2, per cui nella pratica dovrebbero incidere poco. O no?
Quanto potrebbe risentirne un criterio media varianza, con Skewness di ordine di grandezza 1 e Curtosi di ordine di grandezza 10 (ordini di grandezza di molte distribuzioni dei rendimenti azionari)?
Cerco sempre di mobilizzare il minimo numero di neuroni.
Come ti capisco....
Ciao Fioravante Patrone,
gasp che bevuta ...
Se avessi subito ammesso che i tuoi esempi erano bellissimi..........
Comunque questa doppietta mi ha risolto un altro problema: mi stavo chiedendo se presentarmi o restare nell'anonimato nell'apposita sezione; per almeno un anno non si pone più la questione.
Cerco di salvare il mio onore con questo controesempio in cui le variabili casuali assumono solo due valori distinti.
Prendo $u(x)=9x^2-x^3$ (strettamente crescente e strettamente concava in [3;6]); una v.c. assume i valori 4 e 5 con uguale probabilità 0.5; l'altra assume i valori $396/91$ e 6 con rispettive probabilità 0.91 e 0.09. (Sì qualche valore è bruttino, i conti pure, però magari controlliamo lo stesso che funziona).
gasp che bevuta ...
Se avessi subito ammesso che i tuoi esempi erano bellissimi..........
Comunque questa doppietta mi ha risolto un altro problema: mi stavo chiedendo se presentarmi o restare nell'anonimato nell'apposita sezione; per almeno un anno non si pone più la questione.
Cerco di salvare il mio onore con questo controesempio in cui le variabili casuali assumono solo due valori distinti.
Prendo $u(x)=9x^2-x^3$ (strettamente crescente e strettamente concava in [3;6]); una v.c. assume i valori 4 e 5 con uguale probabilità 0.5; l'altra assume i valori $396/91$ e 6 con rispettive probabilità 0.91 e 0.09. (Sì qualche valore è bruttino, i conti pure, però magari controlliamo lo stesso che funziona).
Ciao Snake, se non ho capito male a cosa ti riferisci, i resti di ordine 2 (ma questo vale anche per gli altri ordini) incidono poco solo "localmente" (rispetto ad altri termini e nel senso della definizione di limite, in verità) ma "globalmente" contano eccome. In altre parole, si possono trascurare alcuni termini, in genere, solo localmente (cioè solo per un "ristretto" insieme di valori) e con le dovute cautele; nella gran parte delle situazioni ciò non è possibile.
"luluemicia":
Se avessi subito ammesso che i tuoi esempi erano bellissimi..........
eh, sono permalosissimo, anche se cerco di dissimularlo
"luluemicia":
Comunque questa doppietta mi ha risolto un altro problema: mi stavo chiedendo se presentarmi o restare nell'anonimato nell'apposita sezione; per almeno un anno non si pone più la questione.
beh, io ovviamente ho capito chi sei. Ma tranquillo, non lo dico!
"luluemicia":
Cerco di salvare il mio onore con questo controesempio in cui le variabili casuali assumono solo due valori distinti.
Prendo $u(x)=9x^2-x^3$ (strettamente crescente e strettamente concava in [3;6]); una v.c. assume i valori 4 e 5 con uguale probabilità 0.5; l'altra assume i valori $396/91$ e 6 con rispettive probabilità 0.91 e 0.09. (Sì qualche valore è bruttino, i conti pure, però magari controlliamo lo stesso che funziona).
quale è il numero minimo di dati che servono per fare il controesempio?
io ho usato 6 ascisse e 3 valori di prob (che valgono per 2?)
tu hai usato 4 ascisse e 4 valori di prob (che valgono per 2?)
dai, fatica un po'!
Scusatemi ragazzi ma alla fine qual 'e la risposta esatta?
Mi sono un po persa nei vostri discorsi ...
Un abbraccio
Sastra
Mi sono un po persa nei vostri discorsi ...
Un abbraccio
Sastra
delle risposte alle tue domande sono state date all'inizio
il resto sono divagazioni su un tema che emerge dalla domanda c), riassumibili in questo:
"un decisore avverso al rischio non necessariamente preferisce, tra due lotterie con identico guadagno atteso, quella con varianza minore"
con seguito di commenti, esempi, raffinamenti di esempi e chiacchiere in libertà
se le risposte ricevute all'inizio non ti sono chiare o non ti convincono, prego!
il resto sono divagazioni su un tema che emerge dalla domanda c), riassumibili in questo:
"un decisore avverso al rischio non necessariamente preferisce, tra due lotterie con identico guadagno atteso, quella con varianza minore"
con seguito di commenti, esempi, raffinamenti di esempi e chiacchiere in libertà
se le risposte ricevute all'inizio non ti sono chiare o non ti convincono, prego!
Ciao Snake, se non ho capito male a cosa ti riferisci, i resti di ordine 2 (ma questo vale anche per gli altri ordini) incidono poco solo "localmente" (rispetto ad altri termini e nel senso della definizione di limite, in verità) ma "globalmente" contano eccome. In altre parole, si possono trascurare alcuni termini, in genere, solo localmente (cioè solo per un "ristretto" insieme di valori) e con le dovute cautele; nella gran parte delle situazioni ciò non è possibile.
Hai ragione, mi sono espresso male.
Mi interesserebbe capire questa cosa: come sapete, in finanza nella determinazione dei portafogli ottimali si segue il criterio media varianza: da Markovitz, passando per Tobin , il CAPM si fondano sull'idea che tra 2 investimenti con stesso valore atteso, è preferibile, anzi è dominante quello con varianza minore. Nesuno sceglie, tra 2 portafogli con medesimo valore atteso, quello con varianza maggiore. è da questa assunzione che si derivano i concetti di frontiere efficente, portafoglio di mercato, teorema della separazione, etc.
Ora, tralasciando il fatto che i rendimenti azionari non hanno distribuz. Normale e altre pecche dei modelli suddetti, avreste idea di quanto può impattare la considerazione dell'asimmetria in tutto questo? LA risposta che mi avete già dato è: dipende dalla funzione di uttilità.
MA : Considerare media e varianza solamente non implica iplicitamente una data funzione di utilità?
Questa funzione di utlità è realista?
Ciao Snake, in effetti i criteri dell'utilità e della media-varianza sono in alcuni casi in contraddizione (non c'è unanimità su chi è meglio; un pò come i criteri del Van e del tir per valutare due finanziamenti, criteri che spesso si contraddicono). Vi sono molti contesti in cui si pensa solo al criterio media-varianza e considerare solo la media e la varianza in fondo, come dici tu, significa scegliere in un certo modo l'utilità. Questo modo sarebbe quello della quadratica. Tale funzione di utilità è realista nel contesto della Finanza di cui hai parlato? Un teorico come me (non capisco quasi nulla di ciò che non è tecnica astratta matematica) può solo dirti che l'utilità quadratica è accusata di scarso realismo perchè ha il dominio limitato superiormente. Forse tu che di Finanza ne sai puoi dirci se è ragionevole supporre che "i valori da considerare siano limitati superiormente" (a me, da incompetente, mi viene da pensare sì; mica "devo tendere all'infinito di soldi" per studiare un mercato, posso accontentarmi di "un finito molto grande"!) Se la tua risposta è sì, allora forse il criterio media-varianza, associato a qualche particolare funzione di utilità, è sufficientemente "realista" per studiare quelle situazioni di cui ti occupi, e le altre generalizzazioni dell'utilità sono un'aggiunta che forse costa più di quello che poi serve (va da se che sto parlando solo di questi specifici contesti).
Ciao
Ciao
una risposta stupidotta
che errore facciamo se ci fermiamo alla approx di ordine 2?
Taylor:
$f(x) = f(x_0) + f'(x_0) * \frac{x-x_0}{2} + f''(x_0) * \frac{(x-x_0)^2}{2} + f'''(c) * \frac{(x-x_0)^3}{6}$
Quindi, in prima approssimazione, serve stimare $f'''(x)$ sull'intervallo $[x_0,x]$ (sto supponendo che sia $x_0 < x$)
Fatto questo, naturalmente l'errore diventerà grande o piccolo a seconda anche dell'ampiezza dell'intervallo suddetto.
Sto trascurando il fatto che mi interessa stimare il valore atteso di una lotteria, e quindi proprietà particolari della lotteria potrebbero permettermi di ottenere stime più accurate
che errore facciamo se ci fermiamo alla approx di ordine 2?
Taylor:
$f(x) = f(x_0) + f'(x_0) * \frac{x-x_0}{2} + f''(x_0) * \frac{(x-x_0)^2}{2} + f'''(c) * \frac{(x-x_0)^3}{6}$
Quindi, in prima approssimazione, serve stimare $f'''(x)$ sull'intervallo $[x_0,x]$ (sto supponendo che sia $x_0 < x$)
Fatto questo, naturalmente l'errore diventerà grande o piccolo a seconda anche dell'ampiezza dell'intervallo suddetto.
Sto trascurando il fatto che mi interessa stimare il valore atteso di una lotteria, e quindi proprietà particolari della lotteria potrebbero permettermi di ottenere stime più accurate
Ciao Snake, in effetti i criteri dell'utilità e della media-varianza sono in alcuni casi in contraddizione (non c'è unanimità su chi è meglio; un pò come i criteri del Van e del tir per valutare due finanziamenti, criteri che spesso si contraddicono).
Lasciami specificare he la "contraddizzione" tra Van e Tir è una inesattezza, (ho capito cosa volevi dire). In realtà però questa contraddizzione non dovrebbe esistere....
Forse tu che di Finanza ne sai puoi dirci se è ragionevole supporre che "i valori da considerare siano limitati superiormente" (a me, da incompetente, mi viene da pensare sì; mica "devo tendere all'infinito di soldi" per studiare un mercato, posso accontentarmi di "un finito molto grande"!) Se la tua risposta è sì, allora forse il criterio media-varianza, associato a qualche particolare funzione di utilità, è sufficientemente "realista" per studiare quelle situazioni di cui ti occupi, e le altre generalizzazioni dell'utilità sono un'aggiunta che forse costa più di quello che poi serve (va da se che sto parlando solo di questi specifici contesti).
Effettivamente il limite superiore a noi non interessa, anche perchè trattiamo con rendimenti % (solitamente annuali) nell'implementare modelli media varianza, per cui il loro valore non sarà mai infinito ...
una risposta stupidotta
Per me no
Sto trascurando il fatto che mi interessa stimare il valore atteso di una lotteria, e quindi proprietà particolari della lotteria potrebbero permettermi di ottenere stime più accurate
Ti andrebbe una lotteria con premi caratterizzati da leptocurtosi e leggera asimmetria positiva?
"SnakePlinsky":
Ti andrebbe una lotteria con premi caratterizzati da leptocurtosi e leggera asimmetria positiva?
mi ricorda una malattia (sarà per assonanza con la lehsmaniosi)
Ciao Fioravante Patrone,
questo controesempio (se è tale; i conti sono un pò bruttini, andrebbero controllati) usa le stesse probabilità ma i valori sono distinti. Siamo arrivati a 4+1; non so ancora se si può scendere a 3+1.
Una v.c. assume i valori 4.425 e 3.3 con prob. 0.8 e 0.2; l'altra 4 e 5 con prob. 0.8 e 0.2.
questo controesempio (se è tale; i conti sono un pò bruttini, andrebbero controllati) usa le stesse probabilità ma i valori sono distinti. Siamo arrivati a 4+1; non so ancora se si può scendere a 3+1.
Una v.c. assume i valori 4.425 e 3.3 con prob. 0.8 e 0.2; l'altra 4 e 5 con prob. 0.8 e 0.2.
Pardon, ho dimenticato di dire che la u è sempre la stessa: u(x)=9x^2-x^3
Ciao Snake,
forse dal precedente post non è chiaro perchè parlo di criterio media-varianza, associato a qualche particolare funzione di utilità. Lo preciso adesso così approfitto per farti una domanda su "come si ragiona in Finanza".
Il criterio media-varianza mi sembra irragionevole (senza un minimo di aiuto della teoria dell'utilità). Infatti secondo tale criterio un portafoglio che mi fornisce rendimenti 8 e 10 con prob. 0.5 e 0.5 non è confrontabile con un altro che mi garantisce rendimento 0 con certezza!!!!!!! Ma in Finanza veramente si concluderebbe così?
forse dal precedente post non è chiaro perchè parlo di criterio media-varianza, associato a qualche particolare funzione di utilità. Lo preciso adesso così approfitto per farti una domanda su "come si ragiona in Finanza".
Il criterio media-varianza mi sembra irragionevole (senza un minimo di aiuto della teoria dell'utilità). Infatti secondo tale criterio un portafoglio che mi fornisce rendimenti 8 e 10 con prob. 0.5 e 0.5 non è confrontabile con un altro che mi garantisce rendimento 0 con certezza!!!!!!! Ma in Finanza veramente si concluderebbe così?
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