Hawk-Dove
Salve!
Devo fare l'esame di teoria dei giochi la settimana prossima e ho tutto chiaro tranne una piccola cosa: gli equilibri perfetti nei sottogiochi?
Sto facendo un esercizio tratto dal sito di Levent Kockesen, docente turco, dal quale il mio professore prende i testi per le esercitazioni. Il gioco è il seguente
Devo trovare la forma strategica del gioco e gli equilibri di Nash in strategie pure, più gli equilibri perfetti nei sottogiochi.
Ho ragionato così. Ho fatto la tabella a doppia entrata per i due giocatori con le loro strategie, dalla quale si evince che gli equilibri di Nash in strategie pure sono 3: (NH,H), (ND,H), (GH,D). (scusate, ho sbagliato il disegno omettendo ND e mettendo due volte NH).
Per trovare gli equilibri perfetti nei sottogiochi (sempre in strategie pure), ho considerato che, se G1 sceglie di giocare (G), rimane un sottogioco nel quale c'è un insieme informativo: G2 sa solo che G1 ha scelto H o D, ma non sa esattamente cosa. Lo risolvo con la tabella a doppia entrata seguente, che mi da come equilibri di Nash (GD,H) e (GH,D).
(GD,H) è un equilibrio di Nash solo nel sottogioco ma non nel gioco completo, mentre (GH,D) è equilibrio di Nash sia nel sottogioco che nel gioco completo. Di conseguenza, (GH,D) è perfetto nei sottogiochi.
Ma vedendo la soluzione ho notato che anche (ND,H) è perfetto nei sottogiochi: perchè? Come ci si arriva?
Ho pensato che potesse essere così (ragionamento sicuramente errato): ragionando per backwards induction, se si arrivasse al terzo stadio dopo che G1 abbia giocato H, a G2 conviene giocare D; se G1 giocasse D, a G2 conviene H. Ma G2 non ne sa cosa G1 scelga fra H e D, quindi la cosa migliore che può fare è giocare sempre D al terzo stadio in modo da ridurre i danni. Quindi, dato che G1 sa che G2 giocherà sempre D, anche lui giocherà D al secondo stadio. Ma si è già detto che G1 giocherà sicuramente H se decide di entrare, per cui se dovesse giocare D preferirebbe non rischiare e giocare subito N ottenendo un payoff sicuro. Che ne pensate?
Grazie in anticipo!
Devo fare l'esame di teoria dei giochi la settimana prossima e ho tutto chiaro tranne una piccola cosa: gli equilibri perfetti nei sottogiochi?
Sto facendo un esercizio tratto dal sito di Levent Kockesen, docente turco, dal quale il mio professore prende i testi per le esercitazioni. Il gioco è il seguente
Devo trovare la forma strategica del gioco e gli equilibri di Nash in strategie pure, più gli equilibri perfetti nei sottogiochi.
Ho ragionato così. Ho fatto la tabella a doppia entrata per i due giocatori con le loro strategie, dalla quale si evince che gli equilibri di Nash in strategie pure sono 3: (NH,H), (ND,H), (GH,D). (scusate, ho sbagliato il disegno omettendo ND e mettendo due volte NH).
Per trovare gli equilibri perfetti nei sottogiochi (sempre in strategie pure), ho considerato che, se G1 sceglie di giocare (G), rimane un sottogioco nel quale c'è un insieme informativo: G2 sa solo che G1 ha scelto H o D, ma non sa esattamente cosa. Lo risolvo con la tabella a doppia entrata seguente, che mi da come equilibri di Nash (GD,H) e (GH,D).
(GD,H) è un equilibrio di Nash solo nel sottogioco ma non nel gioco completo, mentre (GH,D) è equilibrio di Nash sia nel sottogioco che nel gioco completo. Di conseguenza, (GH,D) è perfetto nei sottogiochi.
Ma vedendo la soluzione ho notato che anche (ND,H) è perfetto nei sottogiochi: perchè? Come ci si arriva?
Ho pensato che potesse essere così (ragionamento sicuramente errato): ragionando per backwards induction, se si arrivasse al terzo stadio dopo che G1 abbia giocato H, a G2 conviene giocare D; se G1 giocasse D, a G2 conviene H. Ma G2 non ne sa cosa G1 scelga fra H e D, quindi la cosa migliore che può fare è giocare sempre D al terzo stadio in modo da ridurre i danni. Quindi, dato che G1 sa che G2 giocherà sempre D, anche lui giocherà D al secondo stadio. Ma si è già detto che G1 giocherà sicuramente H se decide di entrare, per cui se dovesse giocare D preferirebbe non rischiare e giocare subito N ottenendo un payoff sicuro. Che ne pensate?
Grazie in anticipo!
Risposte
Quasi OK per le forme strategiche.
Ci sono due errori, però:
- uno, banale, è che la seconda riga è ovviamente ND e non NH
- la forma strategica del sottogioco riporta strategie sbagliate per il primo giocatore. Esse sono H e D, NON GH e GD.
Allora, la coppia (ND,h) è un equilibrio perfetto nei sottogiochi.
Perché è equilibrio nel gioco dato, e perché le strategie ridotte al sottogioco (che sono D ed h) sono un equilibrio per questo sottogioco (come vedi dalla forma strategica se invece di metterci GD ci metti D).
Ci sono due errori, però:
- uno, banale, è che la seconda riga è ovviamente ND e non NH
- la forma strategica del sottogioco riporta strategie sbagliate per il primo giocatore. Esse sono H e D, NON GH e GD.
Allora, la coppia (ND,h) è un equilibrio perfetto nei sottogiochi.
Perché è equilibrio nel gioco dato, e perché le strategie ridotte al sottogioco (che sono D ed h) sono un equilibrio per questo sottogioco (come vedi dalla forma strategica se invece di metterci GD ci metti D).
Grazie mille!
Ora mi è più chiaro!
Quanto al secondo errore, avevo scritto le due strategie precedute da G per renderlo più comprensibile, ma lo eviterò in futuro.
Stamattina ho trovato alcuni appunti e ho risolto il tutto come ha detto Lei. Ho proceduto così: in pratica, (fatta la tabella per tutto il gioco e trovati i relativi equilibri) se G1 gioca G, considero il sottogioco H-D con l'insieme informativo, che ha due equilibri di Nash: (H,D) e (D,H). Il sottogioco si riduce quindi, per G2, a giocare H o D con payoff (0,4) o (4,0) rispettivamente.
Da qui, ho fatto un'altra matrice 2x2: G1 può giocare N o G, G2 H o D. Se G1 gioca N, a prescindere dalle mosse di G2, ottiene sempre (2,2). Giocando G, G2 reagisce giocando D o H. L'unico equilibrio di questo sottogioco è (2,2), che si ha se G1 gioca N e G2 gioca H (sua migliore risposta alla scelta di G1 di giocare D). Quindi, essendo (ND,h) equilibrio nel gioco iniziale, è equilibrio anche nel gioco "ridotto", e di conseguenza è perfetto nei sottogiochi.
Spero sia giusto!
Ora mi è più chiaro!
Quanto al secondo errore, avevo scritto le due strategie precedute da G per renderlo più comprensibile, ma lo eviterò in futuro.
Stamattina ho trovato alcuni appunti e ho risolto il tutto come ha detto Lei. Ho proceduto così: in pratica, (fatta la tabella per tutto il gioco e trovati i relativi equilibri) se G1 gioca G, considero il sottogioco H-D con l'insieme informativo, che ha due equilibri di Nash: (H,D) e (D,H). Il sottogioco si riduce quindi, per G2, a giocare H o D con payoff (0,4) o (4,0) rispettivamente.
Da qui, ho fatto un'altra matrice 2x2: G1 può giocare N o G, G2 H o D. Se G1 gioca N, a prescindere dalle mosse di G2, ottiene sempre (2,2). Giocando G, G2 reagisce giocando D o H. L'unico equilibrio di questo sottogioco è (2,2), che si ha se G1 gioca N e G2 gioca H (sua migliore risposta alla scelta di G1 di giocare D). Quindi, essendo (ND,h) equilibrio nel gioco iniziale, è equilibrio anche nel gioco "ridotto", e di conseguenza è perfetto nei sottogiochi.
Spero sia giusto!
Quanto al secondo errore, avevo scritto le due strategie precedute da G per renderlo più comprensibile, ma lo eviterò in futuro
Capisco l'intento, ma quando si parla di restrizione ad un sottogioco si vuol dire che si "dimentica" tutto il resto. Quindi è "metodologicamente errato" usare anche "G".
Casomai va reso esplicito che ci si riferisce al sottogioco cui si arriva dopo che il primo giocatore ha giocato G, qualora vi possa essere rischio di confusione.
Quanto al resto che dici, non vedo perché seguire una strada contorta (mi riferisco alla seconda matrice 2x2). Quello che avevi fatto tu era perfetto e molto semplice, lineare (una volta eliminata la "G"), nel senso che corrisponde esattamente a quanto chiede l'idea di eq perfetto nei sottogiochi: in questo gioco ci sono due sottogiochi e per ciascuno cerchi (dalla forma strategica) gli equilibri di Nash. Poi "metti assieme le cose", come avevi fatto correttamente (a parte l'errore, naturalmente, relativo ad aver usato una "G" che non c'entrava).
Capisco l'intento, ma quando si parla di restrizione ad un sottogioco si vuol dire che si "dimentica" tutto il resto. Quindi è "metodologicamente errato" usare anche "G".
Casomai va reso esplicito che ci si riferisce al sottogioco cui si arriva dopo che il primo giocatore ha giocato G, qualora vi possa essere rischio di confusione.
Quanto al resto che dici, non vedo perché seguire una strada contorta (mi riferisco alla seconda matrice 2x2). Quello che avevi fatto tu era perfetto e molto semplice, lineare (una volta eliminata la "G"), nel senso che corrisponde esattamente a quanto chiede l'idea di eq perfetto nei sottogiochi: in questo gioco ci sono due sottogiochi e per ciascuno cerchi (dalla forma strategica) gli equilibri di Nash. Poi "metti assieme le cose", come avevi fatto correttamente (a parte l'errore, naturalmente, relativo ad aver usato una "G" che non c'entrava).
Due sottogiochi... ovvero il gioco completo e quello con l'insieme informativo (che dovrebbe essere un sottogioco proprio), giusto?
Il problema che mi ponevo è questo: perchè, fra tutti gli equilibri con esito (2,2), proprio (ND,h) è perfetto nei sottogiochi?
Il problema che mi ponevo è questo: perchè, fra tutti gli equilibri con esito (2,2), proprio (ND,h) è perfetto nei sottogiochi?
"FraGrama":
Due sottogiochi... ovvero il gioco completo e quello con l'insieme informativo (che dovrebbe essere un sottogioco proprio), giusto?
Il problema che mi ponevo è questo: perchè, fra tutti gli equilibri con esito (2,2), proprio (ND,h) è perfetto nei sottogiochi?
Sì, i due sottogiochi sono:
- il gioco intero
- il sottogioco prprio che descrivi tu (quello "con l'insieme informativo")
Per la seconda domanda, si tratta di un aspetto generale. Posso benissimo avere due coppie di strategie che danno a tutti e due i giocaotri gli stessi payoff, ma una coppia è equilibrio di Nash e l'altra no. Dipende da cosa fanno le altre strategie.
La risposta "banale" alla tua domanda è che solo (ND,h) soddisfa le condizioni che definiscono un equilibrio perfetto nei sottogiochi.
Secondo me puoi provare a cercare di "vedere" cosa esattamente fa sì che altri profili di strategia (pur con stess payoff) non siano SPE.
Grazie ancora, molto utile!
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