Gioco delle monete
In una rivista di matematica ricreativa che gira in rete ho trovato un gioco carino che ricorda vagamente il gioco dei fiammiferi:
abbiamo una quantità praticamente infinita di monete da 1, 5, 10, 25, 50, 100 centesimi (il gioco è ambientato negli USA
), 2 giocatori mettono a turno in una ciotola una moneta, bisogna raggiungere la somma di 678 centesimi esatti, vince il gioco chi mette l'ultima moneta che raggiunge la somma prefissata. mi sembra ovvio dalla descrizione che la somma non si può superare per poi togliere le monete, solo aggiungere monete nella ciotola.
ho provato a ragionarci e ho concluso che: vince il giocatore I (quello che gioca per primo) se il numero delle monete messe nella ciotola è dispari, infatti sarebbe lui a mettere l'ultima, viceversa vince II se il numero delle monete è pari.
II ha sempre una strategia vincente, infatti in qualsiasi caso può forzare il numero pari di monete da mettere nella ciotola, un ruolo determinante lo gioca infatti la moneta da 25 centesimi (in area euro con la moneta da 20 e mancando quella da 25 le cose sarebbero diverse).
però mi chiedo, come si formalizza tutto ciò in termini matematici? per il gioco dei fiammiferi era semplice, la forma estesa del gioco ci aiutava molto, ma qui il problema è più complesso e i rami dell'albero potrebbero essere troppi da disegnare.
dimenticavo... l'importante per II è arrivare agli ultimi 8 centesimi mancanti con un numero pari di monete, infatti per formare 8 centesimi si può solo fare con 8 monete da 1 centesimo (pari) o con 1 da 5 e 3 da 1 (pari).
abbiamo una quantità praticamente infinita di monete da 1, 5, 10, 25, 50, 100 centesimi (il gioco è ambientato negli USA
), 2 giocatori mettono a turno in una ciotola una moneta, bisogna raggiungere la somma di 678 centesimi esatti, vince il gioco chi mette l'ultima moneta che raggiunge la somma prefissata. mi sembra ovvio dalla descrizione che la somma non si può superare per poi togliere le monete, solo aggiungere monete nella ciotola.ho provato a ragionarci e ho concluso che: vince il giocatore I (quello che gioca per primo) se il numero delle monete messe nella ciotola è dispari, infatti sarebbe lui a mettere l'ultima, viceversa vince II se il numero delle monete è pari.
II ha sempre una strategia vincente, infatti in qualsiasi caso può forzare il numero pari di monete da mettere nella ciotola, un ruolo determinante lo gioca infatti la moneta da 25 centesimi (in area euro con la moneta da 20 e mancando quella da 25 le cose sarebbero diverse).
però mi chiedo, come si formalizza tutto ciò in termini matematici? per il gioco dei fiammiferi era semplice, la forma estesa del gioco ci aiutava molto, ma qui il problema è più complesso e i rami dell'albero potrebbero essere troppi da disegnare.
dimenticavo... l'importante per II è arrivare agli ultimi 8 centesimi mancanti con un numero pari di monete, infatti per formare 8 centesimi si può solo fare con 8 monete da 1 centesimo (pari) o con 1 da 5 e 3 da 1 (pari).
Risposte
"marco vicari":
In una rivista di matematica ricreativa che gira in rete ho trovato un gioco carino che ricorda vagamente il gioco dei fiammiferi:
Facile: Rudi matematici, numero di marzo 2008.
Ho risolto la prima parte dell'esercizio, che ricorda la prima parte del loro esercizio.
Ovviamente lascio come esercizio capire cosa intendo.
"marco vicari":
però mi chiedo, come si formalizza tutto ciò in termini matematici? per il gioco dei fiammiferi era semplice, la forma estesa del gioco ci aiutava molto, ma qui il problema è più complesso e i rami dell'albero potrebbero essere troppi da disegnare.
Beh, disegnarlo richiede del software con anche delle possibilita' di zoom, senno' si vede solo una macchia nera o poco piu'
Qualcosa comunque ci dice la modellizzazione standard: abbiamo una game form in forma estesa, finita (vedasi la precisazione di marco vicari che non si possono togliere monete). Come di consueto, possiamo usare funzioni di utilita' che assegnano valore 1 alla "vittoria" e -1 alla "sconfitta", ottenedo quindi un gioco (vedi: https://www.matematicamente.it/forum/teo ... 20428.html). Allora il teorema di Kuhn ci garantisce che il gioco dato ha equilibrio in strategie pure (anzi, questo equilibrio e', per costruzione, un equilibrio perfetto nei sottogiochi).
Non solo, visto che (con la scelta fatta) abbiamo un gioco a somma zero, possiamo aggiungere ulteriori considerazioni. Non lo faccio ora, non ho il tempo adesso.
Piu' interessante e' notare che questo e' un gioco in cui la storia non e' rilevante. Cio' che conta e' la "posizione". Allora basta riuscire a trovare le posizioni "vincenti" (e "perdenti"...). In altre parole, si ha a disposizione una descrizione del problema che utilizza una variabile di stato molto semplice (il numero di cent presenti nella ciotola). E' noto che negli scacchi non si puo' prendere come variabile di stato la posizione dei pezzi sulla scacchiera, in quanto la storia pregressa (esempio, una torre e' stata mossa?) puo' rendere impossibile una mossa quale l'arrocco. A parita' di disposizione dei pezzi sulla scacchiera.
Nel giochino di cui ci si sta occupando, se nella ciotola ci sono 677 cent, quella e' una posizione vincente. Cosi' come lo e' 673. Invece 676 e' una posizione perdente.
Questa analisi a ritroso la si fa utilizzando implicitamente l'ipotesi che ogni giocatore utilizzi la strategia migliore che ha a sua disposizione.
[size=75]A dopo. Che ci creadiate o no, devo andare a far lezione.[/size]
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