Gioco del "filetto"

[franced]

La domanda è la seguente:

il gioco del "filetto" (o "tris") è un gioco nel quale, se i due giocatori sanno giocare,
il risultato è sempre un pareggio.

Qual è il modo più semplice per dimostrare formalmente tutto ciò?

Qui ci vuole Patrone..

[Fioravante Patrone1]

"franced":La domanda è la seguente:

il gioco del "filetto" (o "tris") è un gioco nel quale, se i due giocatori sanno giocare,
il risultato è sempre un pareggio.

Qual è il modo più semplice per dimostrare formalmente tutto ciò?

Qui ci vuole Patrone..

Il gioco, descritto in forma estesa, è un gioco finito ad informazione perfetta.
Il teorema di Kuhn garantisce che esiste un equilibrio (in stategie "pure") e che questo equilibrio lo si può trovare col metodo della induzione a ritroso.

Se assumiamo che i payoff siano i soliti, e cioè:
- -1 per I e 1 per II se vince II,
- 1 per I e -1 per II se vince I,
- 0 entambi in caso di pareggio;
abbiamo un gioco a somma zero.

Se I è in grado di trovare una stategia che gli garantisca il pareggio (per male che vada), il valore del gioco è maggiore o uguale di 0.
Idem a rovescio per II garantisce che il valore del gioco è minore o uguale a 0.

Visto che queste strategie ci sono, sia per I che per II (lo abbiamo imparato tutti, sui banchi di scuola), se ne deduce che il valore del gioco è 0.

Quindi, se i due giocatori giocano ciascuno una loro stategia ottimale*, il gioco finisce in pareggio.


* Ottimale vuol dire appunto che gli garantisce un payoff almeno pari a 0. Notare che ha senso parlare di stategie ottimali tattandosi di un gioco a somma zero (per un gioco a somma qualsiasi, è un'affermazione insensata).

PS: provo lo stile di gugo82 per le note. Mi sa che è meglio di quello che usavo io.

[franced]

E per forza 4?
Esiste una strategia vincente?

[Fioravante Patrone1]

Un breve cenno a come e' fatto forza 4?

Non avendo avuto cenno, sono ricorso a mamma Google.
Qui:
http://www.segnalidivita.com/salagiochi ... /index.htm
si puo' giocare in rete.

Si tratta chiaramente di un gioco finito a informazione perfetta, per cui ha equilibrio in strategie pure per il teorema di Kuhn.
Se poi lo vediamo come gioco a somma zero, questo ci dice che ha valore.

Pertanto, solo uno dei seguenti tre casi si da:
- il giocatore che comincia ha una strategia in grado di garantirgli la vittoria, qualunque cosa faccia l'altro
- idem a ruoli rovesciati
- ognuno dei giocatori ha una strategia che gli garantisce almeno un pareggio

In questo caso particolare, cioe' per forza 4, il caso che si da e' il primo.
Per i riferimenti, vedasi:
http://en.wikipedia.org/wiki/Connect_Four