[EX] Struttura per scadenza e Interest Rate Swap

[Gughigt]

Propongo, visto che un utente me lo ha fatto venire in mente, un esercizio che sebbene non considerato (perché negli esami fatto meccanicamente) è a mio avviso estremamente importante (nella realtà, la struttura per scadenza non è “disponibile” e si determina a partire dai prezzi di strumenti negoziati nei mercati finanziari).

Si consideri una banca d'investimento che negozia Interest Rate Swap aventi per sottostante il Libor a 12 mesi.
Attualmente il tasso SWAP ad un anno è del \(\displaystyle 5\% \) mentre quello a due anni è il \(\displaystyle 5,5\% \). I pagamenti sono annuali.
Ipotizzando di collocarsi all'emissione si estrapolino i tassi (continui) impliciti nei suddetti contratti.

(zero rates a 12 e 24 mesi)

[/list:u:2wbs3azn]

Nel week-end la soluzione.

[stefano19751]

"Gughigt":Propongo, visto che un utente me lo ha fatto venire in mente, un esercizio che sebbene non considerato (perché negli esami fatto meccanicamente) è a mio avviso estremamente importante (nella realtà, la struttura per scadenza non è “disponibile” e si determina a partire dai prezzi di strumenti negoziati nei mercati finanziari).

Si consideri una banca d'investimento che negozia Interest Rate Swap aventi per sottostante il Libor a 12 mesi.
Attualmente il tasso SWAP ad un anno è del \(\displaystyle 5\% \) mentre quello a due anni è il \(\displaystyle 5,5\% \). I pagamenti sono annuali.
Ipotizzando di collocarsi all'emissione si estrapolino i tassi (continui) impliciti nei suddetti contratti.

(zero rates a 12 e 24 mesi)

[/list:u:1c24ugeg]

Nel week-end la soluzione.

Ciao,

dovrebbe essere zero rates 1y= 5% e per 2y= 5.514%
nn ne sono sicuro perchè avevo costruito la curva un pò di anni fa ma nn ricordo tutti i passaggi...
s.

[Gughigt]

@stefano1975:

Un plain vanilla Interest Rate Swap corrisponde, per l'acquirente, ad assumere una posizione lunga su un titolo a tasso variabile (\(\displaystyle X \)) ed andare contemporaneamente corto su un titolo a tasso fisso (\(\displaystyle Y \)) le cui cedole sono determinate dal "tasso swap", \(\displaystyle r_{IRS} \) (annuo nominale) definito per scadenza del contratto e pagamenti (e.g. \(\displaystyle 2Y/1Y \) per contratti di due anni con pagamenti annuali), su uno stesso nozionale (\(\displaystyle C \)).
Si prezzano a partire dall'ipotesi di assenza di arbitraggi non rischiosi e sfruttando i principi di valutazione dei titoli indicizzati e della linearità del prezzo (fixed bond). Si parla di "gamba fissa" e "gamba variabile".
Nello specifico dell'esercizio il titolo indicizzato, visto che siamo all'emissione, quota alla pari e cioè:

\(\displaystyle V(t, X)=C \)[nota]Per il teorema di valutazione delle cedole indicizzate e quindi dei titoli indicizzati si ha che:\(\displaystyle V(t, X)=Cv(t,t_{0}) \), con \(\displaystyle t_{0} \) istante di emissione[/nota]

Formalmente un interest rate swap, all'istante \(\displaystyle t \) (oggi) avrà valore pari a:

\(\displaystyle V(t, IRS)=V(t, X)-V(t, Y) \)

cioè

\(\displaystyle V(t, IRS)=Cv(t,t_{0})-[Cr_{IRS}\sum_{k =1}^{n}v(t, t_{k})+Cv(t, t_{n})] \)

Ipotizzando nozionale \(\displaystyle C=100 \) (ai fini dell'esercizio sarebbe la stessa cosa se fosse $1$ o $100000$), capitalizzazione continua (\(\displaystyle v(t, t_{h})=e^{-\delta(t, t_{h})(t_{h}-t)} \)) e visto che all'emissione il contratto ha valore nullo:

\(\displaystyle V(t, IRS)=0 \Longleftrightarrow V(t, X)=V(t, Y) \)

allora

\(\displaystyle 100=105e^{-\delta(t, 1)} \)

\(\displaystyle \Longleftrightarrow \delta(t, 1)=0,04879 \)

Per il secondo IRS si ha che:

\(\displaystyle 100=5,5e^{-\delta(t, 1)}+105,5e^{-\delta(t, 2)*2} \)

\(\displaystyle \Longleftrightarrow 100=5,5e^{-0,04879}+105,5e^{-\delta(t, 2)*2} \)

\(\displaystyle \Longleftrightarrow \frac {(100-5,2380)}{105,5}=e^{-\delta(t, 2)*2} \)

\(\displaystyle \Longleftrightarrow \delta(t, 2)=0,05367 \)

quindi gli zero rates sono: \(\displaystyle \delta(t, 1)=0,04879 \) e \(\displaystyle \delta(t, 2)=0,05367 \)

Nella pratica si usano Swap od anche forward (FRAs) per estrapolare la term structure, visto che come dicevo non è esplicita.