Esercizi Vari su obbligazioni (ZCB, cedole fisse) duration e convexity
Vediamo una serie di esercizi sui prestiti obbligazioni e sulla durata media finanziaria e convessità estratti direttamente dal libro di testo di matematica finanziaria.
1.Si acquistano a 90 lire delle obbligazioni del valore nominale di 100, paganti cedole annue posticipate di 10 lire; metà saranno rimborsate tra un anno, e metà tra due. Qual è il tasso di rendimento effettivo per i titoli, nei due casi, e il tasso di rendimento medio [primo anno:21,21%; secondo anno:16,25%; rendimento medio:18,32%]
2.Qual è il corso dei titoli descritti nell'es.1, in base al tasso di valutazione del 18.32%:
a)appena prima del pagamento della prima cedola;
b)appena dopo il pagamento della prima cedola;
c)quando mancano quattro mesi alla scadenza finale?
[a)106,49; b)92,97; c)104,00]
3.A quale prezzo debbono essere emesse le obbligazioni dell'es.1 affinché il tasso netto di costo dell'operazione per l'ente emittente sia del 16%? [92,60]
4.Si considerino i seguenti titoli:
a)titolo a capitalizzazione integrale rimborsato per 129,96 lire dopo due anni;
b)titolo biennale, pagante cedole annuali da 10 lire e rimborsato per 110;
c)titolo biennale, pagante cedole semestrali da 6,77 lire e del valore di rimborso di 100.
Calcolarne, usando il tasso istantaneo di valutazione dell'11%, la duration e la convessità riferite al tempo 0 di emissione, e di quelle riferite al tempo $0,5^+$. Esaminare ai due tempi, l'effetto di un mutamento del tasso di valutazione dall'11% al 12%.
[(a)dur(0;0,11)=2;conv(0;0,11)=4; A(0;0,11)=104,295; A(0;0,12)=102,230;dur(0,5;0,11)=1,5;conv(0,5;0,11)=2,25; A(0,5;0,11)= 110,192; A(0,5;0,12)=108,552]
Svolgimento
Punto 1
$ 90= 60*(1+i)^-1+60*(1+i)^-2 $ devo poi usare la formula di bisezione per trovare il tasso di rendimento? e quello medio idem?
Punto 2
a)visto che non specifica la data precisa, ho provato un giorno prima, 4 mesi prima o 6 mesi prima senza successo.
b)ho provato considerando 364/365, cioè portandolo indietro fino al giorno successivo del pagamento della prima cedola: $ 110*(1,1832)^(-364/365)=93,01 $ ma viene errato!
c)banale: $ 110*(1,1832)^(-4/12)=104,00 $
Punto 3
$ A=10*(1,16)^-1+110*(1,16)^-2=90,02 $ e non capisco perché viene errato!
Punto 4
Rettifico: poiché il testo parla di tasso istantaneo, lo convertiamo in tasso annuale con la formula: $ 0,11=log(1+i) $ $ 1+i=e^(0,11)-1 $ $ i=0,11627807 $
a) $ Dur=(2*129,96*(1,11)^-2)/(129,96*(1,11)^-2)=2 $ ;
$ Conv=((2+4)*129,96*(1,11)^-4)/(129,96*(1,11)^-2)=4,86 $
$ A(0;0,11)=129,96*(1,11)^-2=105 $
$ Dur(0,5;0,11)=(1,5*129,96*(1,11)^(-1,5))/(129,96*(1,11)^(-1,5))=1,5 $
$ Conv(0,5;0,11)=((1,5+1,5^2)*129,96*(1,11)^(-3,5))/(129,96*(1,11)^-(1,5))=3,043 $
Intanto mi fermo qui. Come mai non mi risultano i valori della convessità?
1.Si acquistano a 90 lire delle obbligazioni del valore nominale di 100, paganti cedole annue posticipate di 10 lire; metà saranno rimborsate tra un anno, e metà tra due. Qual è il tasso di rendimento effettivo per i titoli, nei due casi, e il tasso di rendimento medio [primo anno:21,21%; secondo anno:16,25%; rendimento medio:18,32%]
2.Qual è il corso dei titoli descritti nell'es.1, in base al tasso di valutazione del 18.32%:
a)appena prima del pagamento della prima cedola;
b)appena dopo il pagamento della prima cedola;
c)quando mancano quattro mesi alla scadenza finale?
[a)106,49; b)92,97; c)104,00]
3.A quale prezzo debbono essere emesse le obbligazioni dell'es.1 affinché il tasso netto di costo dell'operazione per l'ente emittente sia del 16%? [92,60]
4.Si considerino i seguenti titoli:
a)titolo a capitalizzazione integrale rimborsato per 129,96 lire dopo due anni;
b)titolo biennale, pagante cedole annuali da 10 lire e rimborsato per 110;
c)titolo biennale, pagante cedole semestrali da 6,77 lire e del valore di rimborso di 100.
Calcolarne, usando il tasso istantaneo di valutazione dell'11%, la duration e la convessità riferite al tempo 0 di emissione, e di quelle riferite al tempo $0,5^+$. Esaminare ai due tempi, l'effetto di un mutamento del tasso di valutazione dall'11% al 12%.
[(a)dur(0;0,11)=2;conv(0;0,11)=4; A(0;0,11)=104,295; A(0;0,12)=102,230;dur(0,5;0,11)=1,5;conv(0,5;0,11)=2,25; A(0,5;0,11)= 110,192; A(0,5;0,12)=108,552]
Svolgimento
Punto 1
$ 90= 60*(1+i)^-1+60*(1+i)^-2 $ devo poi usare la formula di bisezione per trovare il tasso di rendimento? e quello medio idem?
Punto 2
a)visto che non specifica la data precisa, ho provato un giorno prima, 4 mesi prima o 6 mesi prima senza successo.
b)ho provato considerando 364/365, cioè portandolo indietro fino al giorno successivo del pagamento della prima cedola: $ 110*(1,1832)^(-364/365)=93,01 $ ma viene errato!
c)banale: $ 110*(1,1832)^(-4/12)=104,00 $
Punto 3
$ A=10*(1,16)^-1+110*(1,16)^-2=90,02 $ e non capisco perché viene errato!
Punto 4
Rettifico: poiché il testo parla di tasso istantaneo, lo convertiamo in tasso annuale con la formula: $ 0,11=log(1+i) $ $ 1+i=e^(0,11)-1 $ $ i=0,11627807 $
a) $ Dur=(2*129,96*(1,11)^-2)/(129,96*(1,11)^-2)=2 $ ;
$ Conv=((2+4)*129,96*(1,11)^-4)/(129,96*(1,11)^-2)=4,86 $
$ A(0;0,11)=129,96*(1,11)^-2=105 $
$ Dur(0,5;0,11)=(1,5*129,96*(1,11)^(-1,5))/(129,96*(1,11)^(-1,5))=1,5 $
$ Conv(0,5;0,11)=((1,5+1,5^2)*129,96*(1,11)^(-3,5))/(129,96*(1,11)^-(1,5))=3,043 $
Intanto mi fermo qui. Come mai non mi risultano i valori della convessità?
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