Esercizi TdG - alcuni dubbi
Ciao a tutti, sto studiando per un esame di teoria dei giochi, non ho frequentato il corso ed ho alcuni dubbi su lo svolgimento degli esercizi, non capisco neanche se i miei risultati sono plausibili.
1- Due giocatori devono spartirsi un dollaro, dichiarano contemporaneamente la quota di cui vogliono appropriarsi e se la somma delle due quantità è minore o uguale ad uno, ottengono la quota desiderata altrimenti prendono entrambi zero. Trovare gli equilibri di Nash in strategie pure.
Se chiamo $u_i(s_1,s_2)$ il payoff del giocatore i, e se $(\bar{s_1},\bar{s_2})$ è un equilibrio di Nash deve valere:
$u_1(\bar{s_1},\bar{s_2})=maxu_1(s_1,\bar{s_2})$ e analogo per il giocatore due
vale $u_1(s_1,s_2)={(s1, "se", s_1+s_2<=1),(0, "se", s_1+s_2>1):}$
il massimo si ottiene in corrispondenza di $1-\bar{s_2}$ analogamente per il giocatore 2
ottengo il sistema di equazioni ${(\bar{s_1}=1-\bar{s_2}),(\bar{s_2}=1-\bar{s_1}):}$
quindi se non sbaglio gli equilibri sono tutti le strategie $(p,1-p)$ con $p in [0,1]$ (mi sembra un po' strano)
2- Si consideri il modello di duopolio di Cournot in cui la domanda inversa è data da $P(Q)=A-Q$ dove $Q=q_1+q_2$ e le imprese hanno costi marginali asimmetrici $c_1,c_2$. Qual'è l'equilibrio di Nash se $0A+c_1$?
il payoff dell'impresa 1 è $u_1(q_1,q_2)={(-q_1^2+q_1(A-q_2-c_1), "se", P(Q)-c_1>=0),(0,"se",P(Q)-c_1<0):}$
massimizzando ottengo ${(q_1=(A-q_2-c_1)/2),(q_2=(A-q_1-c_2)/2):}$ quindi $q_1=(A+c_2-2c_1)/3,q_2=(A+c_1-2c_2)/3$ (che dà la soluzione di duopolio $(A-c)/3$ in caso di costi simmetrici)
questa soluzione è accettabile nel primo caso in quanto entrambe le quantità risultano positive e soddisfano $P(Q)-c_i>=0$
nel secondo caso mi sembra che $q_1=(A+c_2-2c_1)/3$ resti la risposta ottima a $q_2$, sostituendo in $u_2$ ottengo
$u_2(q_1,q_2)={(-q_2^2+q_2(2A+2c_1-4_2)/3,"se",P(Q)-c_2>=0),(0,"se",P(Q)-c_2<0):}$ che ha un massimo in $q_2=0$ (le quantità sono $>=0$)
ottengo i risultati $q_1=(A-c)/2$ e $q_2=0$
3- ho la matrice dei payoff di due giocatori $((2-0,1-1,4-2),(3-4,1-2,2-3),(1-3,0-2,3-0))$ devo trovare gli equilibri in strategie miste. Va bene se prima elimino le strategie strettamente dominate e poi cerco gli equilibri?
1- Due giocatori devono spartirsi un dollaro, dichiarano contemporaneamente la quota di cui vogliono appropriarsi e se la somma delle due quantità è minore o uguale ad uno, ottengono la quota desiderata altrimenti prendono entrambi zero. Trovare gli equilibri di Nash in strategie pure.
Se chiamo $u_i(s_1,s_2)$ il payoff del giocatore i, e se $(\bar{s_1},\bar{s_2})$ è un equilibrio di Nash deve valere:
$u_1(\bar{s_1},\bar{s_2})=maxu_1(s_1,\bar{s_2})$ e analogo per il giocatore due
vale $u_1(s_1,s_2)={(s1, "se", s_1+s_2<=1),(0, "se", s_1+s_2>1):}$
il massimo si ottiene in corrispondenza di $1-\bar{s_2}$ analogamente per il giocatore 2
ottengo il sistema di equazioni ${(\bar{s_1}=1-\bar{s_2}),(\bar{s_2}=1-\bar{s_1}):}$
quindi se non sbaglio gli equilibri sono tutti le strategie $(p,1-p)$ con $p in [0,1]$ (mi sembra un po' strano)
2- Si consideri il modello di duopolio di Cournot in cui la domanda inversa è data da $P(Q)=A-Q$ dove $Q=q_1+q_2$ e le imprese hanno costi marginali asimmetrici $c_1,c_2$. Qual'è l'equilibrio di Nash se $0
il payoff dell'impresa 1 è $u_1(q_1,q_2)={(-q_1^2+q_1(A-q_2-c_1), "se", P(Q)-c_1>=0),(0,"se",P(Q)-c_1<0):}$
massimizzando ottengo ${(q_1=(A-q_2-c_1)/2),(q_2=(A-q_1-c_2)/2):}$ quindi $q_1=(A+c_2-2c_1)/3,q_2=(A+c_1-2c_2)/3$ (che dà la soluzione di duopolio $(A-c)/3$ in caso di costi simmetrici)
questa soluzione è accettabile nel primo caso in quanto entrambe le quantità risultano positive e soddisfano $P(Q)-c_i>=0$
nel secondo caso mi sembra che $q_1=(A+c_2-2c_1)/3$ resti la risposta ottima a $q_2$, sostituendo in $u_2$ ottengo
$u_2(q_1,q_2)={(-q_2^2+q_2(2A+2c_1-4_2)/3,"se",P(Q)-c_2>=0),(0,"se",P(Q)-c_2<0):}$ che ha un massimo in $q_2=0$ (le quantità sono $>=0$)
ottengo i risultati $q_1=(A-c)/2$ e $q_2=0$
3- ho la matrice dei payoff di due giocatori $((2-0,1-1,4-2),(3-4,1-2,2-3),(1-3,0-2,3-0))$ devo trovare gli equilibri in strategie miste. Va bene se prima elimino le strategie strettamente dominate e poi cerco gli equilibri?
Risposte
Rispondo per la terza. Io la farei così.
Il giocatore 1, quello che gioca le righe, non giocherà mai la riga in basso perchè è strettamente dominata dalla prima riga.
Infatti: 2 è più grande di 0, 1, è più grande di zero e 4 è più grande di 3. Inoltre, il giocatore 2, che gioca le colonne, non giocherà mai quella in mezzo perchè strettamente dominata dalla colonna a destra. Stessa cosa: confronta i payoff.
Ti rimane:
q 1-q
r 2,0 4,2
(1-r) 3,4 2,3
dove r e (1-r) sono le probabilità che il giocatore riga giochi la prima e la seconda riga rispettivamente; stessa cosa per le colonne.
Se il giocatore colonna gioca la colonna in alto ottiene un payoff medio di qx2+(1-q)x4
Se gioca la riga in basso ottiene 3xq+2x(1-q).
Quindi il giocatore 1 gioca la prima colonna (o meglio lo fa con probabilità r=1) se qx2+(1-q)x4>3xq+2x(1-q), ovvero q<(2/3). Sarà indifferente (r compreso fra 0 e 1) per q=2/3, preferirà la seconda riga (cioè giocherà la prima riga con probabilità r=0) se q>2/3.
Facciamo lo stesso per il giocatore colonna: se gioca la colonna a sx ottiene in media: 0+4x(1-r); giocando la colonna dx ottiene 2r+3x(1-r).
Per quali valori di r il giocatore colonna preferisce giocare la colonna sinistra con probabilità q=1? Quando il payoff medio che ottiene dal giocare quella colonna è maggiore di quello che otterrebbe giocando l'altra (esattamente come per l'altro giocatore):
0+4x(1-r)>2r+3x(1-r)
che, a conti fatti, da r<1/3.
Quindi le best reply dei due giocatori sono:
Per il giocatore colonna
0 per q>2/3
(0,1) q=2/3
1 per q<2/3
Per il giocatore riga
0 per r>1/3
(0,1) r=1/3
1 per r<1/3
Spero di aver fatto bene i conti... l'equilibrio di Nash in strategie miste è all'incrocio delle due funzioni di best reply, e si ha per (q=2/3; r=1/5). Per (q=1; r=1) e (q=0; r=0) hai gli equilibri in strategie pure.
In ogni caso, credo sia opportuno dimostrare anche che le strategie pure che abbiamo eliminato (riga in basso, colonna in mezzo) sono dominate da strategie miste: il payoff medio che otterrei giocando la strategia mista trovata deve essere meggiore di quello ottenibile con le strategie pure. In tal modo si otterranno dei valori di q e r. Si può anche dimostrare graficamente (riprendo quanto visto da un esercizio che ho fatto, molto simile a questo ma con solo due strategie per il giocatore colonna).
PS: vedo che sei della provincia di Roma... devi per caso fare l'esame di TG con Attar a Tor Vergata?
Intanto posso consigliarti un po' di esercizi da fare per la preparazione all'esame, se te la cavi bene con l'inglese. Puoi scaricare direttamente i file con le soluzioni, tanto riportano il testo completo dell'esercizio. Trovi 9 set di problemi che seguono gli argomenti e 8 testi di esame.
http://portal.ku.edu.tr/~lkockesen/teac ... e_f09.html
Io mi ci sono trovato bene, li ho fatti dopo aver letto il Gibbons (che in ogni caso ho integrato con alcune lezioni di questo docente perchè secondo me è incompleto).
Il giocatore 1, quello che gioca le righe, non giocherà mai la riga in basso perchè è strettamente dominata dalla prima riga.
Infatti: 2 è più grande di 0, 1, è più grande di zero e 4 è più grande di 3. Inoltre, il giocatore 2, che gioca le colonne, non giocherà mai quella in mezzo perchè strettamente dominata dalla colonna a destra. Stessa cosa: confronta i payoff.
Ti rimane:
q 1-q
r 2,0 4,2
(1-r) 3,4 2,3
dove r e (1-r) sono le probabilità che il giocatore riga giochi la prima e la seconda riga rispettivamente; stessa cosa per le colonne.
Se il giocatore colonna gioca la colonna in alto ottiene un payoff medio di qx2+(1-q)x4
Se gioca la riga in basso ottiene 3xq+2x(1-q).
Quindi il giocatore 1 gioca la prima colonna (o meglio lo fa con probabilità r=1) se qx2+(1-q)x4>3xq+2x(1-q), ovvero q<(2/3). Sarà indifferente (r compreso fra 0 e 1) per q=2/3, preferirà la seconda riga (cioè giocherà la prima riga con probabilità r=0) se q>2/3.
Facciamo lo stesso per il giocatore colonna: se gioca la colonna a sx ottiene in media: 0+4x(1-r); giocando la colonna dx ottiene 2r+3x(1-r).
Per quali valori di r il giocatore colonna preferisce giocare la colonna sinistra con probabilità q=1? Quando il payoff medio che ottiene dal giocare quella colonna è maggiore di quello che otterrebbe giocando l'altra (esattamente come per l'altro giocatore):
0+4x(1-r)>2r+3x(1-r)
che, a conti fatti, da r<1/3.
Quindi le best reply dei due giocatori sono:
Per il giocatore colonna
0 per q>2/3
(0,1) q=2/3
1 per q<2/3
Per il giocatore riga
0 per r>1/3
(0,1) r=1/3
1 per r<1/3
Spero di aver fatto bene i conti... l'equilibrio di Nash in strategie miste è all'incrocio delle due funzioni di best reply, e si ha per (q=2/3; r=1/5). Per (q=1; r=1) e (q=0; r=0) hai gli equilibri in strategie pure.
In ogni caso, credo sia opportuno dimostrare anche che le strategie pure che abbiamo eliminato (riga in basso, colonna in mezzo) sono dominate da strategie miste: il payoff medio che otterrei giocando la strategia mista trovata deve essere meggiore di quello ottenibile con le strategie pure. In tal modo si otterranno dei valori di q e r. Si può anche dimostrare graficamente (riprendo quanto visto da un esercizio che ho fatto, molto simile a questo ma con solo due strategie per il giocatore colonna).
PS: vedo che sei della provincia di Roma... devi per caso fare l'esame di TG con Attar a Tor Vergata?
Intanto posso consigliarti un po' di esercizi da fare per la preparazione all'esame, se te la cavi bene con l'inglese. Puoi scaricare direttamente i file con le soluzioni, tanto riportano il testo completo dell'esercizio. Trovi 9 set di problemi che seguono gli argomenti e 8 testi di esame.
http://portal.ku.edu.tr/~lkockesen/teac ... e_f09.html
Io mi ci sono trovato bene, li ho fatti dopo aver letto il Gibbons (che in ogni caso ho integrato con alcune lezioni di questo docente perchè secondo me è incompleto).
Devo fare l'esame con Attar 
Non sono però di economia per questo non ho seguito le lezioni, spero di riuscire lo stesso
Non sono però di economia per questo non ho seguito le lezioni, spero di riuscire lo stesso
Beh, il mondo è piccolo!
Io sto a economia, ma francamente di cose veramente "economiche" nell'esame di TG ce ne sono molto poche (te lo dico perchè ho fatto l'esame due volte e due volte ho rifiutato)!
Io sto a economia, ma francamente di cose veramente "economiche" nell'esame di TG ce ne sono molto poche (te lo dico perchè ho fatto l'esame due volte e due volte ho rifiutato)!
Ciao ragazzi,
innanzitutto grazie per il link al sito dove sono disponibili esercizi: mi servivano proprio...e poi: io devo fare l'esame con Attar, e leggo sui vostri messaggi che il testo è incompleto, mi è giunta voce infatti che lui ha trattato a lezione qualche cosa che nel libro non si trova....devo assolutamente passare quest'esame, ma per via del lavoro (sono una studentessa lavoratrice) non ho potuto seguire il suo corso perchè non mi trovavo in Italia quando si sono svolte le lezioni...potete dirmi cosa manca sul sito ed eventualmente dove è possibile trovare queste cose? Avete delle dritte da darmi in generale sull'esame? Grazie, ciao!
innanzitutto grazie per il link al sito dove sono disponibili esercizi: mi servivano proprio...e poi: io devo fare l'esame con Attar, e leggo sui vostri messaggi che il testo è incompleto, mi è giunta voce infatti che lui ha trattato a lezione qualche cosa che nel libro non si trova....devo assolutamente passare quest'esame, ma per via del lavoro (sono una studentessa lavoratrice) non ho potuto seguire il suo corso perchè non mi trovavo in Italia quando si sono svolte le lezioni...potete dirmi cosa manca sul sito ed eventualmente dove è possibile trovare queste cose? Avete delle dritte da darmi in generale sull'esame? Grazie, ciao!
"franti":
Ciao ragazzi,
innanzitutto grazie per il link al sito dove sono disponibili esercizi: mi servivano proprio...e poi: io devo fare l'esame con Attar, e leggo sui vostri messaggi che il testo è incompleto, mi è giunta voce infatti che lui ha trattato a lezione qualche cosa che nel libro non si trova....devo assolutamente passare quest'esame, ma per via del lavoro (sono una studentessa lavoratrice) non ho potuto seguire il suo corso perchè non mi trovavo in Italia quando si sono svolte le lezioni...potete dirmi cosa manca sul sito ed eventualmente dove è possibile trovare queste cose? Avete delle dritte da darmi in generale sull'esame? Grazie, ciao!
io non ho seguito le lezioni, il libro è stato sufficiente per prepararmi. L'esame è più semplice della maggior parte degli esercizi del libro, mi pare la difficoltà sia la stessa degli esercizi che trovi sul sito del professore turco.
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