Equilibrio di nash
chi mi potrebbe risolvere questo esercizio:
"Si consideri il gioco rappresentato dalla seguente tabella, al variare del parametro b.
- si determini per quali valori di b, il gioco ha equilibri di Nash in strategie pure;
- fissato b=0 si derminino eventuali equilbri di Nash relativi a strategie miste.
(0;1) (2;3)
(2;b^2) (1;b)
aiutooooooooo.....
"Si consideri il gioco rappresentato dalla seguente tabella, al variare del parametro b.
- si determini per quali valori di b, il gioco ha equilibri di Nash in strategie pure;
- fissato b=0 si derminino eventuali equilbri di Nash relativi a strategie miste.
(0;1) (2;3)
(2;b^2) (1;b)
aiutooooooooo.....
Risposte
Potrai magari trovare chi ti da una mano.
Cosa è che non ti torna?
Tanto per cominciare, se fissi a tuo piacimento un valore di $b$ riesci a trovare gli equilibri di Nash in stategie pure?
Cosa è che non ti torna?
Tanto per cominciare, se fissi a tuo piacimento un valore di $b$ riesci a trovare gli equilibri di Nash in stategie pure?
per come lo svolgo io, mi esce così:
- il gioco ha equilibri di Nash in strategie pure per il valore di b=1;2 in (2;3) e (2;1(4)) AB, BA
- invece, equilbri di Nash relativi a strategie miste, fissando b=0 , sono seguenti:
A B
y->1/3 (1-y)->2/3
A x->0 (0;1) (2;3)
B 1-x->0 (2;0) (1;0)
Ma non mi trovo con il risultato della x!!! Ho sbagliato qualche passaggio?
- il gioco ha equilibri di Nash in strategie pure per il valore di b=1;2 in (2;3) e (2;1(4)) AB, BA
- invece, equilbri di Nash relativi a strategie miste, fissando b=0 , sono seguenti:
A B
y->1/3 (1-y)->2/3
A x->0 (0;1) (2;3)
B 1-x->0 (2;0) (1;0)
Ma non mi trovo con il risultato della x!!! Ho sbagliato qualche passaggio?
Per b=1 ci sono due equilibri di Nash. Che sono $(T,R)$ e $(B,L)$, se il gioco è questo:
$(( I \ \\ \ II \ \L,R),(\ \ \ T \ \ \ \0 \ 1,2 \ 3),(\ \ \ B \ \ \ \2 \ 1,1 \ 1))$
Non lasciare alla buona volontà di chi legge capire chi siano A e B.
Non capisco cosa intendi dire nella seconda parte. Prova a esprimerti in modo meno criptico. Lascia meno cosa sottintese. Se chiedi un aiuto, prova a facilitarlo (vedi sopra il caso di A e B).
$(( I \ \\ \ II \ \L,R),(\ \ \ T \ \ \ \0 \ 1,2 \ 3),(\ \ \ B \ \ \ \2 \ 1,1 \ 1))$
Non lasciare alla buona volontà di chi legge capire chi siano A e B.
Non capisco cosa intendi dire nella seconda parte. Prova a esprimerti in modo meno criptico. Lascia meno cosa sottintese. Se chiedi un aiuto, prova a facilitarlo (vedi sopra il caso di A e B).
equilibrio di nash a strategie miste per b=0, ho svolto in questo modo:
I \ II L R I \ II y 1-y
T (0;1) (2;3) x (0;1) (2;3)
B (2;0) (1;0) 1-x (2;0) (1;0)
I -> 0*x*y+2*x*(1-y)+2*(1-x)*y+1*(1-x)*(1-y)=-3xy+x+y+1=x(-3y+1)+y+1
-3y+1=0
y=1/3
1-y=1-1/3=2/3
II -> 1*x*y+3*x*(1-y)+0*(1-x)*y+0*(1-x)*(1-y)=-2xy+3x e qui non mi trovo, perché non posso mettere in evidenzia y,perché se lo faccio mi esce: y(-2x)+3x e poi -2x=0; x=0
e allora dov'è il mio sbaglio?o deve uscire così?
grazie per la pazienza!!!
I \ II L R I \ II y 1-y
T (0;1) (2;3) x (0;1) (2;3)
B (2;0) (1;0) 1-x (2;0) (1;0)
I -> 0*x*y+2*x*(1-y)+2*(1-x)*y+1*(1-x)*(1-y)=-3xy+x+y+1=x(-3y+1)+y+1
-3y+1=0
y=1/3
1-y=1-1/3=2/3
II -> 1*x*y+3*x*(1-y)+0*(1-x)*y+0*(1-x)*(1-y)=-2xy+3x e qui non mi trovo, perché non posso mettere in evidenzia y,perché se lo faccio mi esce: y(-2x)+3x e poi -2x=0; x=0
e allora dov'è il mio sbaglio?o deve uscire così?
grazie per la pazienza!!!
I \ II L R
T (0;1) (2;3)
B (2;0) (1;0)
I \ II y 1-y
x (0;1) (2;3)
1-x (2;0) (1;0)
T (0;1) (2;3)
B (2;0) (1;0)
I \ II y 1-y
x (0;1) (2;3)
1-x (2;0) (1;0)
mi dispiace ma la matrice non mi esce molto bene, mi scusi tanto per l'incomprensione!!!
Scrivere le matrici, con o senza l'aiuto di MathML (che comunque ti raccomando) non è la cosa più facile che ci sia 
Allora, il gioco è (caso $b=0$):
$(( I \ \\ \ II \ \L,R),(\ \ \ T \ \ \ \0 \ 1,2 \ 3),(\ \ \ B \ \ \ \2 \ 0,1 \ 0))$
Una prima osservazione è che il gioco è un po' "degenere", per via dei payoff uguali di $II$ sulla seconda riga. Da qui la possibilità che vengano fuori risultati un po' "strani".
La seconda osservazione è che la strategia $L$ di $I$ è strettamente dominata (*). Quindi, se $I$ gioca la strategia mista $(x,1-x)$, la miglior risposta di $II$ sarà sempre $R$ (ovvero, $y=0$), con la sola eccezione in cui $x=0$, nel qual caso la scelta per $II$ è indeterminata (ogni $y \in [0,1]$ è "miglior risposta").
Il payoff di $I$ è corretto come l'hai calcolato tu e quindi la miglior risposta di $I$ è:
- $x=1$ per $y<1/3$
- tutto $[0,1]$ per $y=1/3$
- $x=0$ per $y>1/3$.
Dal grafico delle due migliori risposte si tova che gli equilibri di Nash sono:
- $x=1$ ed $y=0$, che corrisponde a $(T,R)$
- $x=0$ ed $y \in [0, 1/3]$, che sono quindi infiniti (e che comprendono l'equilibrio in pure $(B,L)$)
(*) [size=75]Uso, ovviamente, la terminologia di D(R)I
[/size]
$(( I \ \\ \ II \ \L,R),(\ \ \ T \ \ \ \0 \ 1,2 \ 3),(\ \ \ B \ \ \ \2 \ 0,1 \ 0))$
Una prima osservazione è che il gioco è un po' "degenere", per via dei payoff uguali di $II$ sulla seconda riga. Da qui la possibilità che vengano fuori risultati un po' "strani".
La seconda osservazione è che la strategia $L$ di $I$ è strettamente dominata (*). Quindi, se $I$ gioca la strategia mista $(x,1-x)$, la miglior risposta di $II$ sarà sempre $R$ (ovvero, $y=0$), con la sola eccezione in cui $x=0$, nel qual caso la scelta per $II$ è indeterminata (ogni $y \in [0,1]$ è "miglior risposta").
Il payoff di $I$ è corretto come l'hai calcolato tu e quindi la miglior risposta di $I$ è:
- $x=1$ per $y<1/3$
- tutto $[0,1]$ per $y=1/3$
- $x=0$ per $y>1/3$.
Dal grafico delle due migliori risposte si tova che gli equilibri di Nash sono:
- $x=1$ ed $y=0$, che corrisponde a $(T,R)$
- $x=0$ ed $y \in [0, 1/3]$, che sono quindi infiniti (e che comprendono l'equilibrio in pure $(B,L)$)
(*) [size=75]Uso, ovviamente, la terminologia di D(R)I
[/size]
capito tuttoooo 
... grazie mille
... grazie mille
"natyna89":
capito tuttoooo
grazie a te per il sorriso
ho questo gioco che devo studiare al variare del parametro d con d>0
allego la matrice degli esiti, non la so scrivere, e allego anche le soluzioni in strategie pure.
per le strategie miste, invece, ho alcune difficoltà.
ho calcolato le funzioni di utilità:
per il primo giocatore= $(-2y+1)x+1+y$
e allora la sua vincita sarà costante per $y=1/2$
sarà pari ad 1 per y appartenente a [$0;1/2$]
pari a 0 per y appartenente a [$1/2;1$].
per il secondo mi sono trovata:
$((-d+3)x-1)y+4-4x+dx$
ma qui allora pongo
x=$1/(3-d)$.
come si procede? avevo pensato di porre questo valore della x compreso tra 0 e 1, ma poi mi sono bloccata. mi aiutate?
grazie mille
allego la matrice degli esiti, non la so scrivere, e allego anche le soluzioni in strategie pure.
per le strategie miste, invece, ho alcune difficoltà.
ho calcolato le funzioni di utilità:
per il primo giocatore= $(-2y+1)x+1+y$
e allora la sua vincita sarà costante per $y=1/2$
sarà pari ad 1 per y appartenente a [$0;1/2$]
pari a 0 per y appartenente a [$1/2;1$].
per il secondo mi sono trovata:
$((-d+3)x-1)y+4-4x+dx$
ma qui allora pongo
x=$1/(3-d)$.
come si procede? avevo pensato di porre questo valore della x compreso tra 0 e 1, ma poi mi sono bloccata. mi aiutate?
grazie mille
Da quello che capisco, non mi sembra giusta la "miglior risposta" che trovi in strategie pure. Ma non sono certo di aver capito il tuo disegno.
Quindi riscrivo qui, per vedere se questa parte è ok.
La miglior risposta è indicata da asterischi
Caso $d < 2$:
Caso $d = 2$:
Caso $d > 2$:
Quindi per $d < 2$ non ci sono equilibri di Nash in pure.
Per $d \ge 2$ c'è un solo equilibrio: $(a,d)$.
Quindi riscrivo qui, per vedere se questa parte è ok.
s d
a 1 2 2 d
b 2 3 1 4
La miglior risposta è indicata da asterischi
Caso $d < 2$:
s d
a 1 * * d
b * 3 1 *
Caso $d = 2$:
s d
a 1 * * *
b * 3 1 *
Caso $d > 2$:
s d
a 1 2 * *
b * 3 1 *
Quindi per $d < 2$ non ci sono equilibri di Nash in pure.
Per $d \ge 2$ c'è un solo equilibrio: $(a,d)$.
si, per le strategie pure mi trovo con i risultati(e questa volta sono io che non capisco le soluzioni con gli asterischi )
ma per le strategie miste come si procede?
grazie
)ma per le strategie miste come si procede?
grazie
Vediamo se così è meglio.
Riprovo. Metto un asterisco attaccato al payoff che individua la "miglior risposta".
Caso $d < 2$:
Caso $d = 2$:
Caso $d > 2$:
Quindi per $d < 2$ non ci sono equilibri di Nash in pure.
Per $d \ge 2$ c'è un solo equilibrio: $(a,d)$.
Per le miste, alla prossima puntata
s d
a 1 2 2 d
b 2 3 1 4
Riprovo. Metto un asterisco attaccato al payoff che individua la "miglior risposta".
Caso $d < 2$:
s d
a 1 2* 2* d
b 2* 3 1 4*
Caso $d = 2$:
s d
a 1 2* 2* d*
b 3* 3 1 4*
Caso $d > 2$:
s d
a 1 2 2* d*
b 3* 3 1 4*
Quindi per $d < 2$ non ci sono equilibri di Nash in pure.
Per $d \ge 2$ c'è un solo equilibrio: $(a,d)$.
Per le miste, alla prossima puntata
ok, così è chiaro grazie
allora aspetto la prossima puntata per le miste, perchè le strategie miste col parametro le trovo un po' complicate(e ho l'esame a breve...)
grazieallora aspetto la prossima puntata per le miste, perchè le strategie miste col parametro le trovo un po' complicate(e ho l'esame a breve...)
E così hai l'esame a breve, eh? 
I calcoli sono giusti, ma non condivido quello che dici nelle frasi evidenziate in rosso.
Non è vero che la sua vincita (io preferisco il termine un po' più anonimo "payoff") sarà pari a 1 per...
Avrai invece che la sua miglior risposta sarà pari a 1 per...
Nel senso che per y appartenente a [$0;1/2$] la migliore strategia mista che può usare è x=1 (di fatto, una strategia pura).
Insomma, i conti fatti ti permettono di trovare la corrispondenza di miglior risposta per il giocatore I, che è fatta così:
1 per y<1/2
[0,1] per y=1/2
0 per y>1/2
Per il secondo i tuoi conti sono giusti:
$((-d+3)x-1)y+4-4x+dx$ (*)
Alloa, la miglior risposta per II è:
1 se $(-d+3)x-1 > 0$
[0,1] se $(-d+3)x-1 = 0$
0 se $(-d+3)x-1 < 0$
Ti suggerisco di studiare l'andamento di $(-d+3)x-1$, ovvero del coefficiente della "y", disegnando il grafico di "x" in funzione di "d".
L'ho fatto (mettendo "d" sulle ascisse e "x" sulle ordinate).
E' una iperbole con asintoto orizzontale "x=0" e asintoto verticale "d=3", e che sta sopra l'asse "x=0" per d<3 e sotto per d>3.
Ora, per $d \in ]-oo,2[$, vedi dal grafico (ovviamente non è obbligatorio fare il grafico, bastano i conti, ma secondo me col grafico si vede meglio) che il valore di "x" per cui si annulla il coefficiente della "y" (nella formula (*) che ti da il payoff per II) appartiene a [0,1].
Per d=2 tale valore vale esattamente 1. E il coefficiente della "y" è strettamente negativo per gli altri valori di "x".
Per gli altri valori di d, tale valore sta fuori dall'intervallo [0,1]. E il coefficiente della "y" è strettamente negativo ogni valore di "x".
Quindi sappiamo "come è fatta" la "miglior risposta" di II al variare di d.
Per $d \in ]-oo,2[$ è:
0 per $x < 1/(3-d)$
[0,1] per $x = 1/(3-d)$
1 per $x > 1/(3-d)$
Per d=2
0 per x <1
[0,1] per x=1
per d>2
0 per ogni valoe di x.
A questo punto, avendo le corrispondenze di miglior risposta, è facile tovarsi gli equilibri di Nash
"sweet swallow":
ho calcolato le funzioni di utilità:
per il primo giocatore= $(-2y+1)x+1+y$
e allora la sua vincita sarà costante per $y=1/2$
sarà pari ad 1 per y appartenente a [$0;1/2$]
pari a 0 per y appartenente a [$1/2;1$].
I calcoli sono giusti, ma non condivido quello che dici nelle frasi evidenziate in rosso.
Non è vero che la sua vincita (io preferisco il termine un po' più anonimo "payoff") sarà pari a 1 per...
Avrai invece che la sua miglior risposta sarà pari a 1 per...
Nel senso che per y appartenente a [$0;1/2$] la migliore strategia mista che può usare è x=1 (di fatto, una strategia pura).
Insomma, i conti fatti ti permettono di trovare la corrispondenza di miglior risposta per il giocatore I, che è fatta così:
1 per y<1/2
[0,1] per y=1/2
0 per y>1/2
Per il secondo i tuoi conti sono giusti:
$((-d+3)x-1)y+4-4x+dx$ (*)
Alloa, la miglior risposta per II è:
1 se $(-d+3)x-1 > 0$
[0,1] se $(-d+3)x-1 = 0$
0 se $(-d+3)x-1 < 0$
Ti suggerisco di studiare l'andamento di $(-d+3)x-1$, ovvero del coefficiente della "y", disegnando il grafico di "x" in funzione di "d".
L'ho fatto (mettendo "d" sulle ascisse e "x" sulle ordinate).
E' una iperbole con asintoto orizzontale "x=0" e asintoto verticale "d=3", e che sta sopra l'asse "x=0" per d<3 e sotto per d>3.
Ora, per $d \in ]-oo,2[$, vedi dal grafico (ovviamente non è obbligatorio fare il grafico, bastano i conti, ma secondo me col grafico si vede meglio) che il valore di "x" per cui si annulla il coefficiente della "y" (nella formula (*) che ti da il payoff per II) appartiene a [0,1].
Per d=2 tale valore vale esattamente 1. E il coefficiente della "y" è strettamente negativo per gli altri valori di "x".
Per gli altri valori di d, tale valore sta fuori dall'intervallo [0,1]. E il coefficiente della "y" è strettamente negativo ogni valore di "x".
Quindi sappiamo "come è fatta" la "miglior risposta" di II al variare di d.
Per $d \in ]-oo,2[$ è:
0 per $x < 1/(3-d)$
[0,1] per $x = 1/(3-d)$
1 per $x > 1/(3-d)$
Per d=2
0 per x <1
[0,1] per x=1
per d>2
0 per ogni valoe di x.
A questo punto, avendo le corrispondenze di miglior risposta, è facile tovarsi gli equilibri di Nash
sì ho l'esame tra 2-3 giorni.
prima di tutto ti ringrazio per avermi corretto nell' "espressione" che avevo sbagliato
! però ho delle domande da fare, anche se credo di aver compreso più o meno bene il tutto^_^.
1) per d=2
l'espressione 3-d=1. ma non devo scrivere oltre a "0 per x<1" e "[0,1] per x=1", 1 per qualsiasi x?
2) allora, gli equilibri sono:
per d appartenente a ]-infinito,2]
($1/(3-d);1/2$)
per d=2
$(1;1/2)$
d<2
(x;1/2)?
questo qui mi sembra strano...
grazie mille
prima di tutto ti ringrazio per avermi corretto nell' "espressione" che avevo sbagliato
! però ho delle domande da fare, anche se credo di aver compreso più o meno bene il tutto^_^.1) per d=2
l'espressione 3-d=1. ma non devo scrivere oltre a "0 per x<1" e "[0,1] per x=1", 1 per qualsiasi x?
2) allora, gli equilibri sono:
per d appartenente a ]-infinito,2]
($1/(3-d);1/2$)
per d=2
$(1;1/2)$
d<2
(x;1/2)?
questo qui mi sembra strano...grazie mille
"sweet swallow":
1) per d=2
l'espressione 3-d=1. ma non devo scrivere oltre a "0 per x<1" e "[0,1] per x=1", 1 per qualsiasi x?
Ma $x$ è una probabilità. Quindi sta tra 0 e 1. Non li ho neanche indicati, come vincoli, perché dovrebbero essere ovvi!
Per trovare gli equilibri di Nash ti suggerisco di disegnare le corrispondenze di miglior risposta. Comunque, ecco le risposte mie.
"sweet swallow":OK
2) allora, gli equilibri sono:
per d appartenente a ]-infinito,2]
($1/(3-d);1/2$)
"sweet swallow":No, sono di più. Sono tutte le coppie del tipo $(1,y)$ con $y \in [0,1/2]$
per d=2
$(1;1/2)$
"sweet swallow":Ovviamente vuoi dire per d>2.
d<2
(x;1/2)?
Per questi valori del parametro l'equilibrio di Nash è uno solo: $(x,y)=(1,0)$ ed è di fatto in strategie pure.
D'altronde, se prendi ad esempio d=5, che è maggiore di 2, hai la matrice:
s d
a 1 2 2 5
b 2 3 1 4
e vedi subito che (a,d) è equilibrio di Nash in pure (e, comunque, gli equilibri in pue li avevamo già studiati al variare di d).
ho provato a rifare l'esercizio e penso finalmente di aver compreso. ho fatto pure alcuni grafici per vedere se mi trovavo col risultato.
il mio prof li fa fare questi grafici, poi non so°_°
poi ne ho provato a fare un altro, per valutare se effettivamente lo so fare. ho ragionato allo stesso modo del precedente. ho fatto bene?
strategie pure:
per a=-2
(A,D) (B,D) (C,B)
a>-2
(A,D) (C,B)
a<-2
(B,D) (C,B)
per le miste:
per il secondo giocatore mi trovo
[0,1] per x=0
0 per x appartenente a [0,1]
per il primo:
[(-3-a)y+(2+a)]x+4y-2
a deve appartenere a ]-3;-2] dato che $0<=(-2-a)/(-3-a)<=1$
per a appartenente a questo intervallo:
[0,1] per $y=(-2-a)/(-3-a)$
1 per y appartenente a [$y=(-2-a)/(-3-a)$,1]
0 per y appartente a [0,$y=(-2-a)/(-3-a)$]
qui le coppie sono (0,y) per y appartenente a [0,$y=(-2-a)/(-3-a)$]
per a=-2
ho
[0,1] per y=0
1 per y appartenente a [0,1]
quindi le coppie sono (x,0) con x appartenente a [0,1]
per a>-2
1 per ogni y
coppie (1,0)
spero di averlo fatto bene.
ah, una domanda...ma se ci sono degli equilibri in strategie pure, lo saranno anche in quelle miste?
grazie
il mio prof li fa fare questi grafici, poi non so°_°
poi ne ho provato a fare un altro, per valutare se effettivamente lo so fare. ho ragionato allo stesso modo del precedente. ho fatto bene?
strategie pure:
per a=-2
(A,D) (B,D) (C,B)
a>-2
(A,D) (C,B)
a<-2
(B,D) (C,B)
per le miste:
per il secondo giocatore mi trovo
[0,1] per x=0
0 per x appartenente a [0,1]
per il primo:
[(-3-a)y+(2+a)]x+4y-2
a deve appartenere a ]-3;-2] dato che $0<=(-2-a)/(-3-a)<=1$
per a appartenente a questo intervallo:
[0,1] per $y=(-2-a)/(-3-a)$
1 per y appartenente a [$y=(-2-a)/(-3-a)$,1]
0 per y appartente a [0,$y=(-2-a)/(-3-a)$]
qui le coppie sono (0,y) per y appartenente a [0,$y=(-2-a)/(-3-a)$]
per a=-2
ho
[0,1] per y=0
1 per y appartenente a [0,1]
quindi le coppie sono (x,0) con x appartenente a [0,1]
per a>-2
1 per ogni y
coppie (1,0)
spero di averlo fatto bene.
ah, una domanda...ma se ci sono degli equilibri in strategie pure, lo saranno anche in quelle miste?
grazie
"sweet swallow":
ho provato a rifare l'esercizio e penso finalmente di aver compreso. ho fatto pure alcuni grafici per vedere se mi trovavo col risultato.
il mio prof li fa fare questi grafici, poi non so°_°
I grafici sono ok! Bene.
"sweet swallow":
ah, una domanda...ma se ci sono degli equilibri in strategie pure, lo saranno anche in quelle miste?
grazie
Sì, un equilibrio di Nash resta tale passando alle strategie miste. Potesti dimostrarlo per esercizio.
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