Duration di Macaulay

[Andreamatematica]

Salve, presento il seguente quesito: "Dopo aver definito la Duration di Macaulay $D$ e la Duration Modificata $D_m$ per un coupon bond con scadenza $n$, valore facciale $F$, tasso cedolare $c$ e prezzo $P$, dimostrare relazione $(text(d)P)/(text(d) text(landa)) = - D_m * P$, dove $text(landa)$ è il rendimento a maturità.

Prima di tutto ho scritto la duration di macaulay $D= (F*(n/m)*dn+C/m sum_k k*dk)/P$
Con $dk=(1+ text(landa)/m)^(-k)$

Dovrei derivare ora il $P$ del coupon bond per $text(landa)$ ma sto trovando difficoltà nel farlo.
Qualche aito, please?

[gugo82]

[ot]Landa?
Hans Landa?

[/ot]

[Gughigt]

Certo che ti sei sforzato molto.
Mi rifiuto di usare la tua notazione, se hai capito l'argomento non avrai problemi, altrimenti rivedilo bene. Ad ogni modo:
Sia $V(t, x)$ il prezzo all'istante $t$ (non ti definisco vettori dei flussi e del tempo che sicuramente conoscerai).

$V(t, x)=sum_(h =1) ^(n)x_(h)(1+i)^(-(t_(h)-t))$

La sua derivata prima è:

$V'(t, x)= -sum_(h =1) ^(n)(t_(h)-t)x_(h)(1+i)^(-(t_(h)-t))$

Cerchiamo ora le variazioni relative (divido per il prezzo):

$(V'(t, x))/(V(t, x))= (-sum_(h =1) ^(n)(t_(h)-t)x_(h)(1+i)^(-(t_(h)-t)))/(V(t, x))=-(1)/(1+i)*D(t, x)$

Dove $D(t, x)$ è la Flat Yield Duration (quella di Macaulay è banalmente la stessa cosa ma con la struttura per scadenza esplicita, anziché $i$ dovresti scrivere $i(t, t_(h)$ ), inoltre tutto il membro di destra prende il nome di "Modified Duration".
Se approssimassimo la derivata prima con il rapporto incrementale otterremmo:

$(Delta V(t, x))/(V(t, x) Delta i)~= -(1)/(1+i)*D(t, x)$

e quello che cerchi tu cioè:

$(Delta V(t, x))/( Delta i)~=-(1)/(1+i)*D(t, x)*V(t, x)$

Ciao e saluti a landa...
P.s. ho utilizzato la capitalizzazione discreta, nel continuo il risultato è simile