Dubbi da neofita: dilemma prigioniero e gioco pollo & NE
Ciao a tutti!
Sono un novellino del forum e della Tdg, a cui mi sono avvicinato da poco tempo (sto preparando la tesina di maturità su questo affascinante argomento).
Mi rimangono però dei dubbi sui due giochi più famosi.
La differenza principale tra i due giochi è che il dilemma del prigioniero è simmetrico (entrambi i giocatori hanno necessariamente lo stesso ordine di preferenza, cioè prendere meno anni possibili di carcere), mentre il gioco del pollo è potenzialmente asimmetrico (possono entrare in gioco decisori con ordini di preferenza diversi, morire > disonore o disonore > morire). Giusto? Questo comporta "solo" lo spostamento dell'equilibrio di Nash in funzione dei vari ordini di preferenza?
Se noi immaginiamo i due giocatori come due "fifoni", che preferiscono il disonore alla morte, esistono due equilibri di Nash nelle condizioni (dritto, sterza) e (sterza, dritto).
A questo punto quindi bisogna calcolare le strategie miste e trovare la distribuzione di probabilità tra "sterzare" e "continuare dritto".
Se immaginiamo i due giocatori come due "duri", che preferiscono la morte al disonore, esiste un unico equilibrio di Nash, nella condizione (dritto, dritto). La strategia "dritto" è strettamente dominante per entrambi e non ci sono problemi.
Se immaginiamo il giocatore 1 "duro" e il giocatore 2 "fifone", l'equilibrio si sposta nella condizione (dritto, sterza). La strategia dritto è strettamente dominante per il giocatore 1 e quindi il giocatore 2 sceglie di sterzare per ottimizzare il suo payoff.
C'è qualcosa di sensato nei tre esempi?
Un altro dubbio...
Quale è l'importanza dell'equilibrio di Nash? Le conseguenze della definizione sono che nessuno dei due giocatori ha intenzione di cambiare la sua strategia se anche l'altro giocatore non cambia strategia. Questo significa che se noi consideriamo due giocatori razionali arriveremo sempre e comunque all'equilibrio di Nash? E quando esistono più equilibri?
Ultima domanda: esiste un modo per trovare gli ottimi paretiani senza andare a tentativi?
Grazie mille a tutti quelli che vorranno dedicare un po' del loro tempo ad aiutarmi
Ciao
Sono un novellino del forum e della Tdg, a cui mi sono avvicinato da poco tempo (sto preparando la tesina di maturità su questo affascinante argomento).
Mi rimangono però dei dubbi sui due giochi più famosi.
La differenza principale tra i due giochi è che il dilemma del prigioniero è simmetrico (entrambi i giocatori hanno necessariamente lo stesso ordine di preferenza, cioè prendere meno anni possibili di carcere), mentre il gioco del pollo è potenzialmente asimmetrico (possono entrare in gioco decisori con ordini di preferenza diversi, morire > disonore o disonore > morire). Giusto? Questo comporta "solo" lo spostamento dell'equilibrio di Nash in funzione dei vari ordini di preferenza?
Se noi immaginiamo i due giocatori come due "fifoni", che preferiscono il disonore alla morte, esistono due equilibri di Nash nelle condizioni (dritto, sterza) e (sterza, dritto).
Sterza Dritto Sterza 3;3 (2);[4] Dritto (4);[2] 1;1
A questo punto quindi bisogna calcolare le strategie miste e trovare la distribuzione di probabilità tra "sterzare" e "continuare dritto".
Se immaginiamo i due giocatori come due "duri", che preferiscono la morte al disonore, esiste un unico equilibrio di Nash, nella condizione (dritto, dritto). La strategia "dritto" è strettamente dominante per entrambi e non ci sono problemi.
Sterza Dritto Sterza 3;3 1;[4] Dritto (4);1 (2);[2]
Se immaginiamo il giocatore 1 "duro" e il giocatore 2 "fifone", l'equilibrio si sposta nella condizione (dritto, sterza). La strategia dritto è strettamente dominante per il giocatore 1 e quindi il giocatore 2 sceglie di sterzare per ottimizzare il suo payoff.
Sterza Dritto Sterza 3;3 1;[4] Dritto (4);[2] (2);1
C'è qualcosa di sensato nei tre esempi?
Un altro dubbio...
Quale è l'importanza dell'equilibrio di Nash? Le conseguenze della definizione sono che nessuno dei due giocatori ha intenzione di cambiare la sua strategia se anche l'altro giocatore non cambia strategia. Questo significa che se noi consideriamo due giocatori razionali arriveremo sempre e comunque all'equilibrio di Nash? E quando esistono più equilibri?
Ultima domanda: esiste un modo per trovare gli ottimi paretiani senza andare a tentativi?
Grazie mille a tutti quelli che vorranno dedicare un po' del loro tempo ad aiutarmi
Ciao
Risposte
"rain_man":Ti consiglierei di dare un'occhiata qui:
La differenza principale tra i due giochi è che il dilemma del prigioniero è simmetrico (entrambi i giocatori hanno necessariamente lo stesso ordine di preferenza, cioè prendere meno anni possibili di carcere), mentre il gioco del pollo è potenzialmente asimmetrico (possono entrare in gioco decisori con ordini di preferenza diversi, morire > disonore o disonore > morire). Giusto? Questo comporta "solo" lo spostamento dell'equilibrio di Nash in funzione dei vari ordini di preferenza?
https://www.matematicamente.it/forum/teo ... 20428.html
Meglio ancora, il mio libro...
Una coppia di strategie determina un esito (gli anni di carcere, schiantarsi, salvare la pellaccia...).
Poi intervengono le preferenze dei giocatori sugli esiti.
Allora, come ci può essere il giocatore fifone e quello duro, una cosa simile può capitare per il dilemma del prigioniero: potrebbe esserci un giocatore il quale ha un elevato senso "morale" (ehm...) e preferisce un esito in cui entrambi beccano lo stesso numero di anni di galera all'esito in cui lui se la cava con poco, a danno dell'altro.
"rain_man":
Se noi immaginiamo i due giocatori come due "fifoni", che preferiscono il disonore alla morte, esistono due equilibri di Nash nelle condizioni (dritto, sterza) e (sterza, dritto).
Sterza Dritto Sterza 3;3 (2);[4] Dritto (4);[2] 1;1
A questo punto quindi bisogna calcolare le strategie miste e trovare la distribuzione di probabilità tra "sterzare" e "continuare dritto".
Se immaginiamo i due giocatori come due "duri", che preferiscono la morte al disonore, esiste un unico equilibrio di Nash, nella condizione (dritto, dritto). La strategia "dritto" è strettamente dominante per entrambi e non ci sono problemi.
Sterza Dritto Sterza 3;3 1;[4] Dritto (4);1 (2);[2]
Se immaginiamo il giocatore 1 "duro" e il giocatore 2 "fifone", l'equilibrio si sposta nella condizione (dritto, sterza). La strategia dritto è strettamente dominante per il giocatore 1 e quindi il giocatore 2 sceglie di sterzare per ottimizzare il suo payoff.
Sterza Dritto Sterza 3;3 1;[4] Dritto (4);[2] (2);1
C'è qualcosa di sensato nei tre esempi?
Sensatissimi!
"rain_man":L'equilibrio di Nash è come un gigante dai piedi d'argilla. Soprattutto quando vi sono più equilibri (ed è un fatto "normale") il valore predittivo (e, di riflesso, anche quello normativo) va a farsi friggere o quasi.
Quale è l'importanza dell'equilibrio di Nash? Le conseguenze della definizione sono che nessuno dei due giocatori ha intenzione di cambiare la sua strategia se anche l'altro giocatore non cambia strategia. Questo significa che se noi consideriamo due giocatori razionali arriveremo sempre e comunque all'equilibrio di Nash? E quando esistono più equilibri?
Anche qui: il mio libro...
"rain_man":
Ultima domanda: esiste un modo per trovare gli ottimi paretiani senza andare a tentativi?
Sì, ne esistono, ma se li cerchi dentro una matrice piccola, va benissimo andare "per tentativi".
"Fioravante Patrone":
Ti consiglierei di dare un'occhiata qui:
https://www.matematicamente.it/forum/teo ... 20428.html
Meglio ancora, il mio libro...
Una coppia di strategie determina un esito (gli anni di carcere, schiantarsi, salvare la pellaccia...).
Poi intervengono le preferenze dei giocatori sugli esiti.
Allora, come ci può essere il giocatore fifone e quello duro, una cosa simile può capitare per il dilemma del prigioniero: potrebbe esserci un giocatore il quale ha un elevato senso "morale" (ehm...) e preferisce un esito in cui entrambi beccano lo stesso numero di anni di galera all'esito in cui lui se la cava con poco, a danno dell'altro.
Quindi ho invertito l'ordine logico...solamente quando sono a conoscenze degli ordini di preferenza posso parlare di gioco...e non vi è alcun elemento che mi permette di escludere l'esistenza di un prigioniero che non abbia come unico obiettivo quello di restare pochi anni in carcere.
Il libro sarà tra le mie mani a partire da lunedì =)
Grazie mille, Professore (anche per la grande quantità di ottimo materiale che permette di consultare su internet)!
"rain_man":
Quindi ho invertito l'ordine logico...solamente quando sono a conoscenze degli ordini di preferenza posso parlare di gioco...e non vi è alcun elemento che mi permette di escludere l'esistenza di un prigioniero che non abbia come unico obiettivo quello di restare pochi anni in carcere.
Sì, è proprio così. Ad esempio, si parla di "dilemma del prigioniero" quando si ha un gioco così:
$(( I \ \\ \ II \ \vdots,L,R),(\ldots,\ldots,\ldots),(\ \ \ T \ \ \ \vdots,c \ c,a \ d),(\ \ \ B \ \ \ \vdots,d \ a,b \ b))$
Con $a < b < c < d$.
Ma, naturalmente, questi sono i payoff. Ovvero ciò che si ottiene tenendo conto sia della funzione $h$ che delle funzioni (di utilità) $u$ e $v$. Mi riferisco alle notazioni e terminologia usate qui:
https://www.matematicamente.it/forum/teo ... 20428.html
Ad esempio, alle righe -10 e -9 della prima pagina, seconda colonna, di:
http://www.diptem.unige.it/patrone/LMP_69_patrone.pdf
è detto molto chiaramente: "l'esito derivante da $(T,L)$ sia preferito da entrambi i giocatori all'esito che ottengono"
PS: tieni presente che in giro per la rete ci sono molti fraintendimenti (a voler essere buoni) rispetto al dilemma del prigioniero...
PPS: grazie per il grazie
Perfetto =) !!!
Grazie mille
Grazie mille
Buondì =) !
Mi è sorto un nuovo dubbio...le definizioni di strategie pure e miste mi sembra di averle capite ma...l'unica situazione in cui è sensato giocare una strategia pura e quando una strategia è strettamente dominante sulle altre? In tutte le altre situazioni, invece, mi conviene giocare strategie miste in modo da rendere l'utilità del mio avversario di giocare una strategia o l'altra uguali. Giusto?
In un gioco a somma zero questo mi sembra innegabile (giocare una strategia pura significa perdere perché l'avversario si "adatta"), ma davanti al gioco del pollo mi perdo. Gli equilibri di Nash del gioco del pollo, cioè (sterza, dritto) e (dritto, sterza) sono equilibri in strategie pure o miste?
Grazie mille per l'aiuto
Mi è sorto un nuovo dubbio...le definizioni di strategie pure e miste mi sembra di averle capite ma...l'unica situazione in cui è sensato giocare una strategia pura e quando una strategia è strettamente dominante sulle altre? In tutte le altre situazioni, invece, mi conviene giocare strategie miste in modo da rendere l'utilità del mio avversario di giocare una strategia o l'altra uguali. Giusto?
In un gioco a somma zero questo mi sembra innegabile (giocare una strategia pura significa perdere perché l'avversario si "adatta"), ma davanti al gioco del pollo mi perdo. Gli equilibri di Nash del gioco del pollo, cioè (sterza, dritto) e (dritto, sterza) sono equilibri in strategie pure o miste?
Grazie mille per l'aiuto
"rain_man":Buonasera
Buondì =) !
"rain_man":No, non direi.
Mi è sorto un nuovo dubbio...le definizioni di strategie pure e miste mi sembra di averle capite ma...l'unica situazione in cui è sensato giocare una strategia pura e quando una strategia è strettamente dominante sulle altre? In tutte le altre situazioni, invece, mi conviene giocare strategie miste in modo da rendere l'utilità del mio avversario di giocare una strategia o l'altra uguali. Giusto?
Prendi ad esempio questo gioco:
$(( I \ \\ \ II \ \vdots,L,C,R),(\ldots,\ldots,\ldots,\ldots),(\ \ \ T \ \ \ \vdots,2 \ 2,0 \ 0,0 \ 0),(\ \ \ M \ \ \ \vdots,0 \ 0,1 \ 0,0 \ 1),(\ \ \ B \ \ \ \vdots,0 \ 0,0 \ 1,1 \ 0))$
La coppia di strategie (pure) $(T,L)$ è l'unico equilibrio di Nash in strategie pure del gioco.
Né $T$ né $L$ sono strategie dominanti, ma questo è irrilevante. Predire che venga giocato questo equilibrio mi sembra piuttosto ben fondato!
Wow grazie per la rapidità di risposta!
Allora credevo bene...i due equilibri del gioco del pollo sono in strategie pure. Perché allora bisogna mixare?
Mi sfugge l'utilità di mixare nei giochi che non sono a somma zero!
L'unica idea che mi viene in mente è quella di considerare le strategie pure come casi particolari delle strategie miste...questo mi porta a concludere che nei giochi non a somma zero gli equilibri in strategie pure coincidono sempre con quelli in strategie miste. Ma mi sembra una generalizzazione errata...
Allora credevo bene...i due equilibri del gioco del pollo sono in strategie pure. Perché allora bisogna mixare?
Mi sfugge l'utilità di mixare nei giochi che non sono a somma zero!
L'unica idea che mi viene in mente è quella di considerare le strategie pure come casi particolari delle strategie miste...questo mi porta a concludere che nei giochi non a somma zero gli equilibri in strategie pure coincidono sempre con quelli in strategie miste. Ma mi sembra una generalizzazione errata...
"rain_man":Per coerenza
Allora credevo bene...i due equilibri del gioco del pollo sono in strategie pure. Perché allora bisogna mixare?
Mi sfugge l'utilità di mixare nei giochi che non sono a somma zero!
Provo a spiegarmi.
Non tutti i giochi finiti hanno equilibrio di Nash, neanche se sono a somma zero: l'esempio più semplice è il "pari o dispari".
Allora von Neumann, e poi Nash, per dimostrare l'esistenza di un equilibrio sono stati "costretti" ad introdurre le strategie miste.
In questo modo il "pari o dispari" ha un equilibrio. E con lui altri giochi che non ne hanno in strategie pure.
Ma, una volta aperto il vaso di Pandora, non lo si può richiudere facendo finta di niente. E' ovvio che uno si chiede se un gioco, che ha già (almeno) un equilibrio in strategie pure non ne possa avere ulteriori, in strategie miste.
Può non succedere: l'esempio più importante è il "dilemma del prigioniero" che non ha ulteriori equilibri in strategie miste.
Può succedere: il gioco del pollo e la battaglia dei sessi (ad esempio) hanno un equilibrio aggiuntivo in strategie miste.
Quanto alla "utilità di mixare in giochi non a somma zero", che "ti sfugge", guarda questo esempio:
$(( I \ \\ \ II \ \vdots,L,R),(\ldots,\ldots,\ldots),(\ \ \ T \ \ \ \vdots,10 \ 4,12 \ 1),(\ \ \ B \ \ \ \vdots,12 \ 3,11 \ 6))$
Non ci sono equilibri in pure. Non è a somma zero, e neanche a somma costante. Anzi, $(B,R)$ domina paretianamente $(L,R)$. Quindi non è neanche un gioco "antagonistico".
Insomma, le strategie miste servono anche fuori dal caso a somma zero (un caso importante è dato dai giochi di "guardie e ladri", ovvero di "sorveglianza": in genere non hanno equilibri in pure, ed in genere le preferenze delle "guardie" e quelle dei "ladri" non sono l'une le opposte delle altre).
Nota tecnica: nel passaggio da strategie pure a miste non si perdono equilibri. Se ho un equilibrio in pure, esso resta anche equilibrio "in miste", convenientemente interpretato.
"Fioravante Patrone":
Insomma, le strategie miste servono anche fuori dal caso a somma zero (un caso importante è dato dai giochi di "guardie e ladri", ovvero di "sorveglianza": in genere non hanno equilibri in pure, ed in genere le preferenze delle "guardie" e quelle dei "ladri" non sono l'une le opposte delle altre).
Perché guardie e ladri non è un gioco a somma zero? Se il ladro viene preso perde, se non viene preso vince. Se le guardie non lo prendono, perdono, se lo prendono vincono. Perché la vittoria del ladro e la sconfitta delle guardie non si sommano a dare zero? Che payoff si attribuiscono?
"rain_man":
[quote="Fioravante Patrone"]
Insomma, le strategie miste servono anche fuori dal caso a somma zero (un caso importante è dato dai giochi di "guardie e ladri", ovvero di "sorveglianza": in genere non hanno equilibri in pure, ed in genere le preferenze delle "guardie" e quelle dei "ladri" non sono l'une le opposte delle altre).
Perché guardie e ladri non è un gioco a somma zero? Se il ladro viene preso perde, se non viene preso vince. Se le guardie non lo prendono, perdono, se lo prendono vincono. Perché la vittoria del ladro e la sconfitta delle guardie non si sommano a dare zero? Che payoff si attribuiscono?[/quote]Visione troppo ristretta hai tu
Neanche in guerra le preferenze dei giocatori sono opposte! Vi sono molte sfaccettature. Ti invito a riflettere su "guardie e ladri". In alcuni casi è sensato assumere che sia a somma zero, ma non sempre questa semplificazione è ragionevole.
Grazie mille per l'aiuto.
Nel frattempo consultando varie fonti mi sono chiarito un po' le idee sugli equilibri in strategie miste!
Buona serata =)
Nel frattempo consultando varie fonti mi sono chiarito un po' le idee sugli equilibri in strategie miste!
Buona serata =)
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