Domanda elastica, contraddizione

[Sk_Anonymous]

Ho un dubbio sull'elasticità della domanda dal quale non riesco proprio a venirne a capo. Una domanda si dice elastica se la sua elasticità è > 1.
Ovvero una domanda è elastica se

[tex]\left|\frac{\frac{\Delta q}{q}}{\frac{\Delta p}{p}}\right|>1\Rightarrow\left|\frac{\Delta q}{q}\right|>\left|\frac{\Delta p}{p}\right|[/tex] (1)

dove $p$ e $q$ sono rispettivamente prezzo e quantità domandata all'inizio. Sul mio testo vi è scritto che per una domanda elastica "se p raddoppia, q più che si dimezza". Volevo verificare questo fatto dal punto di vista matematico.
Ora sia D la mia funzione di domanda diretta. Poniamo:

[tex]D(a)=b

D(2a)=x[/tex]

Ovvero al prezzo $a$ i consumatori domandano la quantità $b$, se il prezzo raddoppia i consumatori domandano la quantità $x$. Cerchiamo di capire come deve essere $x$ se la domanda è elastica. Sostituendo nella (1) possiamo scrivere:

[tex]\left|\frac{x-b}{b}\right|>\left|\frac{2a-a}{a}\right|\Rightarrow\left|\frac{x-b}{b}\right|>1

\begin{cases}
\frac{x-b}{b} & >1\Rightarrow\frac{x}{b}>2\Rightarrow x>2b\\
\frac{x-b}{b} & <-1\Rightarrow\frac{x}{b}<0\Rightarrow x<0
\end{cases}[/tex]

Il primo caso significa che se il prezzo raddoppia i consumatori domandano più del doppio di prima (assurdo, perchè dovrebbero domandare meno di prima...), il secondo caso significa che se raddoppio il prezzzo i consumatori non solo non comprano più nulla da me ma mi restituiscono quello che hanno comprato prima (XD)

Dove sbaglio nel mio ragionamento?

[Sk_Anonymous]

Per il primo caso ci sono, dato che il primo caso si ha quando $x-b > 0$ ovvero $x>b$ e quindi stiamo parlando di beni di Giffen

Per il secondo caso ($x-b<0$ dunque $x

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[Sk_Anonymous]

aiutino?

[Sk_Anonymous]

Tutto torna solo se:

$\{((\Deltap)/p=(p_2-p_1)/p_1),((\Deltaq)/q=(q_2-q_1)/q_2):}$

essendo $(p_1,q_1)$ i dati iniziali e $(p_2,q_2)$ i dati finali.

[Sk_Anonymous]

Ciao,
innanzitutto grazie per la risposta.

Potresti spiegarmi gentilmente come si giustifica quel $q_2$ al denominatore? Dal punto di vista matematico\economico o quello che vuoi, perchè dovrei dividere per il prezzo iniziale per quanto riguarda il prezzo e per la quantità finale per quanto riguarda la quantità?

[Sk_Anonymous]

Se vuoi poter dire "al raddoppiare del prezzo, la quantità più che si dimezza" e continuare ad avere una elasticità in modulo maggiore di uno, non hai alternative. Per fare un esempio, quando il prezzo di un'azione raddoppia, la variazione percentuale del prezzo è del 100 %, quando si dimezza, la variazione percentuale è solo del 50 %, sempre che tu voglia applicare la definizione, come credo sia giusto nel rispetto della dottrina. Se tu applicassi la stessa definizione nel tuo caso, l'elastictà sarebbe in modulo minore di uno, ovviamente. Hanno preferito avere sempre una elasticità in modulo maggiore di uno, poi si sono dimenticati di dire che cosa questo avrebbe comportato in termini di definizioni, soprattutto quando i due andamenti sono opposti. In ogni modo, è solo una questione di termini. Concordo sul fatto che i testi non siano sufficientemente rigorosi, inducendo un po' di confusione. Inaccettabile.