Dimostrazione su continuita' preferenze

[Ecce]

Ciao a tutti,
vorrei controllare con voi la soluzione di questo esercizio.
Un po' di definizioni:
$X=(R^M)_+$
Upper Contour Set $UCS(x)={x\inX|x\succeq\barx}$
Lower Contour Set $LCS(x)={x\inX|\barx\succeqx}$
$\succeq\subsetX$ e' continua se e solo se $ \forall \barx,\bary \in X | x\succy
\exists \epsilon,\delta\geq0 | \forallx\inB_\epsilon (\barx) \wedge \forally\inB_\delta (\bary), x\succy$
Dimostrare che la relazione di preferenza $\succeq\subsetX$ e' continua se e solo se:
$ UCS(x) \wedge LCS(x)$ sono insiemi chiusi
La relazione di preferenza e' razionale e soddisfa completezza, transitivita' e riflessivita'. Soddisfano inoltre le proprieta' di monotonicita' debole e non sazieta' locale.
Ho proceduto cosi:
Consideriamo una qualche $\barx\succ\bary$.
Assumiamo che $UCS(\bary)$ sia aperto, quindi esiste una sequenza interamente contenuta in esso che converge a un punto $\hatx\notinUCS(\bary)\Rightarrow\hatx\inLCS(\bary)$ e per la continuita' $\hatx\inB_\epsilon (\barx)$. Ma allora $\hatx\succ\haty$ assumendo che le preferenze siano continue, ma cio' e' in contraddizione con il fatto che $\hatx\inLCS(\bary)$.
Cosa ne pensate? L'unico punto di cui non sono certo e' se e' vero che $\hatx\inB_\epsilon(\barx)$
Penso si possa poi procedere "al contrario" per mostrare che se le preferenze NON sono continue, allora uno dei due insiemi deve essere aperto.

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Update se a qualcuno potesse interessare, ho ricontrollato e trovato una soluzione . Posto qui sotto la dimostrazione completa:
Assumiamo che $UCS(\barx)$ sia aperto,$\exists {x_n}_(n\to\infty)\subsetUCS(\barx)$ such that $x_n\to\hatx$ per un n sufficientemente grande $\hatx\notinUCS(\barx)\Rightarrow\hatx\inLCS(\barx)$.
Completezza delle preferenze implica $\barx\succ\hatx$.
Definizione di limite implica $x_n\inB_\epsilon(\hatx)$.
Allora la continuita' implicherebbe $\barx\succ\x_n$, una contraddizione al fatto che $x_n\inUCS(\barx) \foralln$