Difficoltà interpretative in un testo sull'ammortamento
Ciao a tutti! Ero alle prese con un esercizietto di matematica finanziaria dove ho pensato si dovesse usare l'ammortamento.....
vi scrivo il testo per evitare problemi.
"Una persona ha preso a prestito da una banca euro 100000 che inizialmente aveva intenzione di restituire in 5 anni mediante il rimborso a scadenza del capitale ed il versamento annuale di interessi calcolati al 12%.
Al momento della preventivata restituzione del capitale il risparmiatore si rende conto di non avere a disposizione la somma e, quindi, si accorda per restituire gradualmente i 100000, in ulteriori 5 anni, mediante il versamento di rate annue costanti al tasso del 17% annuo.
Calcolare quale sarà per il debitore il tasso di costo dell'operazione complessivamente costruita."
Allora io, leggendo il testo, ho pensato a un iniziale ammortamento a rimborso unico dove le quote interessi sono tutte uguali al debito totale per l'interesse che lo fa maturare. In formule \(\displaystyle S\cdot i \). Ok, questo ammortamento non va a buon fine, poiché il risparmiatore non riesce a versare l'intera somma del capitale preso in prestito all'epoca 5, e decide di restituirlo in altri 5 anni con un tipo di ammortamento che, a me, sembra quello francese con un periodo di differimento pari a 5.
Ho impostato la seguente equazione ma, svolgendo i calcoli e ragionando, penso di aver sbagliato qualcosa, visto che ho trovato difficoltà nel trovare il tasso per interpolazione.
\(\displaystyle 100000=5S\cdot i\cdot\frac{1-(1+i)^{-5}}{i}+R\cdot \frac{1-(1+i)^{-5}}{i\cdot(1+i)^{5}} \)
Vorrei sapere se ho ragionato bene (ne dubito eheheh), e capire eventualmente come interpretare meglio il testo per una volta successiva.
Grazie a tutti
vi scrivo il testo per evitare problemi.
"Una persona ha preso a prestito da una banca euro 100000 che inizialmente aveva intenzione di restituire in 5 anni mediante il rimborso a scadenza del capitale ed il versamento annuale di interessi calcolati al 12%.
Al momento della preventivata restituzione del capitale il risparmiatore si rende conto di non avere a disposizione la somma e, quindi, si accorda per restituire gradualmente i 100000, in ulteriori 5 anni, mediante il versamento di rate annue costanti al tasso del 17% annuo.
Calcolare quale sarà per il debitore il tasso di costo dell'operazione complessivamente costruita."
Allora io, leggendo il testo, ho pensato a un iniziale ammortamento a rimborso unico dove le quote interessi sono tutte uguali al debito totale per l'interesse che lo fa maturare. In formule \(\displaystyle S\cdot i \). Ok, questo ammortamento non va a buon fine, poiché il risparmiatore non riesce a versare l'intera somma del capitale preso in prestito all'epoca 5, e decide di restituirlo in altri 5 anni con un tipo di ammortamento che, a me, sembra quello francese con un periodo di differimento pari a 5.
Ho impostato la seguente equazione ma, svolgendo i calcoli e ragionando, penso di aver sbagliato qualcosa, visto che ho trovato difficoltà nel trovare il tasso per interpolazione.
\(\displaystyle 100000=5S\cdot i\cdot\frac{1-(1+i)^{-5}}{i}+R\cdot \frac{1-(1+i)^{-5}}{i\cdot(1+i)^{5}} \)
Vorrei sapere se ho ragionato bene (ne dubito eheheh), e capire eventualmente come interpretare meglio il testo per una volta successiva.
Grazie a tutti
Risposte
"nicolaflute":
Allora io, leggendo il testo, ho pensato a un iniziale ammortamento a rimborso unico dove le quote interessi sono tutte uguali al debito totale per l'interesse che lo fa maturare. In formule \(\displaystyle S\cdot i \). Ok, questo ammortamento non va a buon fine, poiché il risparmiatore non riesce a versare l'intera somma del capitale preso in prestito all'epoca 5, e decide di restituirlo in altri 5 anni con un tipo di ammortamento che, a me, sembra quello francese con un periodo di differimento pari a 5.
Ho impostato la seguente equazione ma, svolgendo i calcoli e ragionando, penso di aver sbagliato qualcosa, visto che ho trovato difficoltà nel trovare il tasso per interpolazione.
\(\displaystyle 100000=5S\cdot i\cdot\frac{1-(1+i)^{-5}}{i}+R\cdot \frac{1-(1+i)^{-5}}{i\cdot(1+i)^{5}} \)
Vorrei sapere se ho ragionato bene (ne dubito eheheh), e capire eventualmente come interpretare meglio il testo per una volta successiva.
Grazie a tutti
hai ragionato benissimo...tutto corretto....purtroppo però le formule che hai impostato non traducono bene in numeri ciò che hai scritto in prosa....
cos'è $S$?...è un valore diverso da 100.000?
il tasso di interesse è sempre lo stesso? Dalle tue formule si direbbe di sì!
sicuro di aver ben compreso il calcolo del valore attuale?
$(1-v^n)/i$ calcola il valore attuale di n rate UNITARIE al tasso $i$. perché ci metti $5Si$ davanti se la rata è pari a $Si$?
rivedi queste cose e magari ti torna tutto
il tasso di interesse è sempre lo stesso? Dalle tue formule si direbbe di sì!
sicuro di aver ben compreso il calcolo del valore attuale?
$(1-v^n)/i$ calcola il valore attuale di n rate UNITARIE al tasso $i$. perché ci metti $5Si$ davanti se la rata è pari a $Si$?
rivedi queste cose e magari ti torna tutto
per risolvere devi fare così:
1) ti calcoli la rata per l'ammortamento francese -> rimborso di 100k in 5 rate costanti al tasso 17%
2) hai la rata dei primi anni pari a 12.000€
3) attualizzi il tutto al tasso incognito $i$ e risolvi
1) ti calcoli la rata per l'ammortamento francese -> rimborso di 100k in 5 rate costanti al tasso 17%
2) hai la rata dei primi anni pari a 12.000€
3) attualizzi il tutto al tasso incognito $i$ e risolvi
In effetti ora che sto leggendo bene, e sto riflettendo vedo che quel \(\displaystyle 5Si \) non ci sta a fare molto, visto che, come ha detto lei, nell'ammortamento a rimborso unico la rata è composta esclusivamente dalla quota interessi, quindi estraendola dalla sommatoria, per via della messa in evidenza, rimane il valore della rendita fino all'epoca 5. Il discorso dei tassi mi ha creato difficoltà fin dall'inizio, visto che la loro esplicitazione mi impediva di impostare l'equazione con un tasso incognito. Potrei risolvere impostando un iniziale tasso i e un secondo tasso aumentato di 5 punti percentuali? Tipo così
\(\displaystyle 100000=Si\cdot \frac{1-(1+i)^-5}{i}+R\cdot \frac{1-(1+i+0.05)^{-5}}{i\cdot (1+i)^{5}} \)
\(\displaystyle 100000=Si\cdot \frac{1-(1+i)^-5}{i}+R\cdot \frac{1-(1+i+0.05)^{-5}}{i\cdot (1+i)^{5}} \)
quindi:
le 5 rate di soli interessi per i primi 5 anni sono pari a $100.000\cdot0,12=12.000$
le successive 5 rate di ammortamento francese sono pari a $100.000\cdot(0,17)/(1-1,17^(-5))=31.256,39$
le 5 rate di soli interessi per i primi 5 anni sono pari a $100.000\cdot0,12=12.000$
le successive 5 rate di ammortamento francese sono pari a $100.000\cdot(0,17)/(1-1,17^(-5))=31.256,39$
"nicolaflute":
In effetti ora che sto leggendo bene, e sto riflettendo vedo che quel \(\displaystyle 5Si \) non ci sta a fare molto, visto che, come ha detto lei, nell'ammortamento a rimborso unico la rata è composta esclusivamente dalla quota interessi, quindi estraendola dalla sommatoria, per via della messa in evidenza, rimane il valore della rendita fino all'epoca 5. Il discorso dei tassi mi ha creato difficoltà fin dall'inizio, visto che la loro esplicitazione mi impediva di impostare l'equazione con un tasso incognito. Potrei risolvere impostando un iniziale tasso i e un secondo tasso aumentato di 5 punti percentuali? Tipo così
\(\displaystyle 100000=Si\cdot \frac{1-(1+i)^-5}{i}+R\cdot \frac{1-(1+i+0.05)^{-5}}{i\cdot (1+i)^{5}} \)
...non proprio
Per favore, non darmi del lei
ora possiamo attualizzare il tutto
$12.000(1-(1+i)^(-5))/i+31256,39(1-(1+i)^(-5))/(i(1+i)^5)-100.000=0$
$12.000(1-(1+i)^(-5))/i+31256,39(1-(1+i)^(-5))/(i(1+i)^5)-100.000=0$
ora il problema è: come la risolviamo questa equazione di grado elevato???
conosci i metodi di approssimazione?
metodo di newton
metodo delle secanti
metodo delle bisezioni
conosci i metodi di approssimazione?
metodo di newton
metodo delle secanti
metodo delle bisezioni
ti è chiaro come ho impostato l'equazione?
per i primi 5 anni Tizio paga solo interessi sul debito senza restituire nulla...quindi le rate (sono rate di preammortamento, in termine tecnico) sono pari a $100.000\cdot0,12=12.000$
All'epoca 5 egli ha ancora il suo debito immutato di 100.000 euro che vuole restituire in ammortamento francese al tasso del 17% -> quindi è facile calcolare la rata.
Ora non resta che attualizzare le 10 poste finanziarie....le prime 5 con la formula del valore attuale....le seconde 5, prima con la formula del valore attuale che riporta tutte le 5 R all'epoca 5....poi occorre riportarle tutte insieme all'epoca zero moltiplicandole per $1/(1+i)^5$ (come del resto avevi già fatto tu fin dall'inizio...)
Ora il tasso incognito è quello effettivo dell'operazione
per i primi 5 anni Tizio paga solo interessi sul debito senza restituire nulla...quindi le rate (sono rate di preammortamento, in termine tecnico) sono pari a $100.000\cdot0,12=12.000$
All'epoca 5 egli ha ancora il suo debito immutato di 100.000 euro che vuole restituire in ammortamento francese al tasso del 17% -> quindi è facile calcolare la rata.
Ora non resta che attualizzare le 10 poste finanziarie....le prime 5 con la formula del valore attuale....le seconde 5, prima con la formula del valore attuale che riporta tutte le 5 R all'epoca 5....poi occorre riportarle tutte insieme all'epoca zero moltiplicandole per $1/(1+i)^5$ (come del resto avevi già fatto tu fin dall'inizio...)
Ora il tasso incognito è quello effettivo dell'operazione
a conti fatti esce $i=13,3708%$
...con una buona approssimazione di 4 cifre decimali
...con una buona approssimazione di 4 cifre decimali
Si si. Scusa è che ho letto le prime risposte da cellulare e non ho visto bene il ragionamento. Ora è tutto chiaro! Nel modo di procedere, dico. Fin da quando ho letto il testo, i due tassi mi creavano disagio, ma ora ho capito che è meglio usarli per calcolare le rate di ogni metodo, per poter attualizzare tutto e impostare l'equazione di equilibrio finanziario.
Purtroppo, non sono un esperto di analisi numerica. Nel corso di studi non c'è tantissima matematica, meno che mai analisi numerica. (è un l33) Il corso di matematica finanziaria che sto seguendo prevede lo studio del metodo di interpolazione si va "a tentativi" per trovare i due tassi tra i quali vi è il tasso incognito TIC.
Grazie comunque!
Purtroppo, non sono un esperto di analisi numerica. Nel corso di studi non c'è tantissima matematica, meno che mai analisi numerica. (è un l33) Il corso di matematica finanziaria che sto seguendo prevede lo studio del metodo di interpolazione si va "a tentativi" per trovare i due tassi tra i quali vi è il tasso incognito TIC.
Grazie comunque!
"nicolaflute":
Si si. Scusa è che ho letto le prime risposte da cellulare e non ho visto bene il ragionamento. Ora è tutto chiaro! Nel modo di procedere, dico. Fin da quando ho letto il testo, i due tassi mi creavano disagio, ma ora ho capito che è meglio usarli per calcolare le rate di ogni metodo, per poter attualizzare tutto e impostare l'equazione di equilibrio finanziario.
Purtroppo, non sono un esperto di analisi numerica. Nel corso di studi non c'è tantissima matematica, meno che mai analisi numerica. (è un l33) Il corso di matematica finanziaria che sto seguendo prevede lo studio del metodo di interpolazione si va "a tentativi" per trovare i due tassi tra i quali vi è il tasso incognito TIC.
Grazie comunque!
per tentativi va benissimo! La cosa importante è che tu abbia ben compreso la procedura di attualizzazione..
Mah. Si, penso di averla compresa. è basilare per poter impostare le equazioni di equilibrio finanziario. Il mio errore è stato non calcolare le rate con i tassi forniti dal testo. Il resto è saper utilizzare bene le formule per ogni modello con uno stesso tasso incognito.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo