Derivate prime e seconde
Ciao a tutti, devo fare una breve premessa.
Studio scienze politiche e devo sostenere l'esame scritto di Politica Economica. L'esame scritto consiste nello spiegare il Modello di Solow, che nel concreto i punti sono i seguenti:
Data la seguente funzione di produzione Y= $ K^a * E^(1-a) $ dire se questa funzione ha produttività marginale positiva crescente o decrescente.
Leggendo dal libro, mi dice che per capire se la funzione ha produttività marginale positive crescenti o decrescenti, basta conoscere la Derivata prima e seconda. Non sapendo cosa sono, ho cercato su internet ed ho trovato le formule, ma non sono del tutto convinto di aver fatto bene. Quindi, mi fate capire se ho fatto bene o male?
$ Yk = aK^(a-1) * E^(1-a) $ ----> questa è la derivata prima
$ Ykk = a-1(aK^(a-1)) * E^(1-a) $ ----> questa è la derivata seconda
$ Ye= K^a * 1-aE^(1-a) $ ----> questa è la derivata prima
$ Yee= K^a * 1-a(1-aE^(1-a)) $ ----> questa è la derivata seconda
grazie a tutti
Studio scienze politiche e devo sostenere l'esame scritto di Politica Economica. L'esame scritto consiste nello spiegare il Modello di Solow, che nel concreto i punti sono i seguenti:
Data la seguente funzione di produzione Y= $ K^a * E^(1-a) $ dire se questa funzione ha produttività marginale positiva crescente o decrescente.
Leggendo dal libro, mi dice che per capire se la funzione ha produttività marginale positive crescenti o decrescenti, basta conoscere la Derivata prima e seconda. Non sapendo cosa sono, ho cercato su internet ed ho trovato le formule, ma non sono del tutto convinto di aver fatto bene. Quindi, mi fate capire se ho fatto bene o male?
$ Yk = aK^(a-1) * E^(1-a) $ ----> questa è la derivata prima
$ Ykk = a-1(aK^(a-1)) * E^(1-a) $ ----> questa è la derivata seconda
$ Ye= K^a * 1-aE^(1-a) $ ----> questa è la derivata prima
$ Yee= K^a * 1-a(1-aE^(1-a)) $ ----> questa è la derivata seconda
grazie a tutti
Risposte
no, sono sbagliate (tranne la prima che hai calcolato)
La regola di derivazione che devi applicare (in maniera ricorsiva) è la seguente:
$d/(d X) X^n=n\cdot X^(n-1)$
per cui la derivata seconda sarà
$d^2/(d X^2) X^n=n(n-1)\cdot X^(n-2)$
ecc ecc
La regola di derivazione che devi applicare (in maniera ricorsiva) è la seguente:
$d/(d X) X^n=n\cdot X^(n-1)$
per cui la derivata seconda sarà
$d^2/(d X^2) X^n=n(n-1)\cdot X^(n-2)$
ecc ecc
Grazie per la risposta. Io ho applicato proprio questa formula, allora sono io che non sono in grado di sviluppare la derivata 
Verrò bocciato sicuramente...
Verrò bocciato sicuramente...
se la funzione è questa
$Y=K^alphaE^(1-alpha)$ e devi derivare rispetto a $K$ (come mi pare di capire) farai
$(partialY)/(partialK)=alphaK^(alpha-1)\cdot E^(1-alpha)$
al secondo passaggio farai la stessa cosa....porti "giù" l'esponente che ora è $(alpha-1)$ e lo abbassi di una unità....ottenendo
$(partial^2Y)/(partialK^2)=alpha(alpha-1)K^(alpha-2)\cdot E^(1-alpha)$
se poi invece devi derivare la funzione $y$ rispetto ad $E$ farai la stessa cosa ma considerando tutto ciò che non è $E$ come una costante moltiplicativa....
ecc ecc
$Y=K^alphaE^(1-alpha)$ e devi derivare rispetto a $K$ (come mi pare di capire) farai
$(partialY)/(partialK)=alphaK^(alpha-1)\cdot E^(1-alpha)$
al secondo passaggio farai la stessa cosa....porti "giù" l'esponente che ora è $(alpha-1)$ e lo abbassi di una unità....ottenendo
$(partial^2Y)/(partialK^2)=alpha(alpha-1)K^(alpha-2)\cdot E^(1-alpha)$
se poi invece devi derivare la funzione $y$ rispetto ad $E$ farai la stessa cosa ma considerando tutto ciò che non è $E$ come una costante moltiplicativa....
ecc ecc
quindi la derivata prima l'avevo fatta bene, mentre la seconda no. Puoi dirmi come questo mi permette di capire se una funzione ha produttività marginale positiva ma crescente oppure decrescente? Io non ci capisco niente, scusa.
"Gianni124":
quindi la derivata prima l'avevo fatta bene
no. ti ho detto che avevi fatto bene la derivata prima rispetto a K. Quella rispetto a E è sbagliata
"Gianni124":
Puoi dirmi come questo mi permette di capire se una funzione ha produttività marginale positiva ma crescente oppure decrescente? Io non ci capisco niente, scusa.
Di nuovo, grazie.
"Gianni124":
[quote="Gianni124"]Puoi dirmi come questo mi permette di capire se una funzione ha produttività marginale positiva ma crescente oppure decrescente? Io non ci capisco niente, scusa.
Di nuovo, grazie.[/quote]
beh se $0
qui comunque trovi tutto ciò che ti interessa.....
http://www.ecostat.unical.it/aiello/Did ... 0SOLOW.pdf
anche se dovresti avere le stesse cose sul libro di testo
saluti
Grazie per il link, molto interessante. Spero di riuscire a capirci qualcosa. 
dunque vediamo di ragionare così:
La tua funzione Cobb Douglas (che nel caso specifico non include il progresso tecnologico) è fatta così:
$Y=K^alphaE^(1-alpha)$
cosa rappresentano gli esponenti? rappresentano la composizione fra capitale e lavoro.
Esempio:
Se la composizione fosse 50 - 50 la funzione sarebbe $Y=K^(1/2)E^(1/2)$
se la composizione fosse $1/3$ capitale e $2/3$ lavoro avresti $Y=K^(1/3)E^(2/3)$
ecc ecc
dato che dobbiamo valutare le derivate rispetto al fattore $K$ (capitale?...) il resto è costante quindi possiamo non considerarlo.
La tua funzione di produzione sarà
$Y=K^alpha$
dove $alpha$ è un numero compreso fra zero e uno...dato che la composizione di capitale e lavoro deve fare uno (nota che nella tua funzione di produzione la somma degli esponenti di K e E fa proprio uno: $alpha+(1-alpha)=1$)
la derivata prima sarà
$alphaK^(alpha-1)$...quindi positiva.....
la derivata seconda sarà
$alpha(alpha-1)K^(alpha-2)$
come vedi stavolta abbiamo il fattore $(alpha-1)$ che per forza è negativo!!! In sostanza il fatto di avere $0 la curva ha una concavità rivolta verso il basso)
Per quanto riguarda l'altro fattore produttivo (il lavoro) ragioni in maniera speculare
$Y=E^(1-alpha)$
derivi ottenendo
$(1-alpha)E^(-alpha)$ -> positiva, essendo $(1-alpha)>0$ -> funzione crescente....sì ma quanto cresce? si calcola la derivata seconda ottenendo
$-alpha(1-alpha)E^(-alpha-1)$ ->negativa, essendoci davanti $(-alpha)$ ->ergo la crescita è meno che proporzionale
PS: di link basta digitare modello di solow e ne vengono fouri a vagonate (questo mi sembra molto facile)
http://www00.unibg.it/dati/corsi/90014/ ... idicre.pdf
più chiaro di così non si può...per il resto devi studiare un po' di matematica prima di affrontare queste quesioni.
1)
derivata prima >0 -> funzione crescente
derivata prima <0 -> funzione decrescente
2)
derivata seconda >0 -> concavità della funzione rivolta verso l'alto
derivata seconda <0 -> concavità della funzione rivolta verso il basso
La tua funzione Cobb Douglas (che nel caso specifico non include il progresso tecnologico) è fatta così:
$Y=K^alphaE^(1-alpha)$
cosa rappresentano gli esponenti? rappresentano la composizione fra capitale e lavoro.
Esempio:
Se la composizione fosse 50 - 50 la funzione sarebbe $Y=K^(1/2)E^(1/2)$
se la composizione fosse $1/3$ capitale e $2/3$ lavoro avresti $Y=K^(1/3)E^(2/3)$
ecc ecc
dato che dobbiamo valutare le derivate rispetto al fattore $K$ (capitale?...) il resto è costante quindi possiamo non considerarlo.
La tua funzione di produzione sarà
$Y=K^alpha$
dove $alpha$ è un numero compreso fra zero e uno...dato che la composizione di capitale e lavoro deve fare uno (nota che nella tua funzione di produzione la somma degli esponenti di K e E fa proprio uno: $alpha+(1-alpha)=1$)
la derivata prima sarà
$alphaK^(alpha-1)$...quindi positiva.....
la derivata seconda sarà
$alpha(alpha-1)K^(alpha-2)$
come vedi stavolta abbiamo il fattore $(alpha-1)$ che per forza è negativo!!! In sostanza il fatto di avere $0
Per quanto riguarda l'altro fattore produttivo (il lavoro) ragioni in maniera speculare
$Y=E^(1-alpha)$
derivi ottenendo
$(1-alpha)E^(-alpha)$ -> positiva, essendo $(1-alpha)>0$ -> funzione crescente....sì ma quanto cresce? si calcola la derivata seconda ottenendo
$-alpha(1-alpha)E^(-alpha-1)$ ->negativa, essendoci davanti $(-alpha)$ ->ergo la crescita è meno che proporzionale
PS: di link basta digitare modello di solow e ne vengono fouri a vagonate (questo mi sembra molto facile)
http://www00.unibg.it/dati/corsi/90014/ ... idicre.pdf
più chiaro di così non si può...per il resto devi studiare un po' di matematica prima di affrontare queste quesioni.
1)
derivata prima >0 -> funzione crescente
derivata prima <0 -> funzione decrescente
2)
derivata seconda >0 -> concavità della funzione rivolta verso l'alto
derivata seconda <0 -> concavità della funzione rivolta verso il basso
Ti ringrazio per la spiegazione: chiara e precisa. Lo so che devo migliorare le mie conoscenze matematiche, ma finora, non mi sono mai servite. E come te, anche io non sono giovane diplomato,per questo non ricordo tutto quello che ho fatto 15 anni fa. Conciliare lavoro e studio non è semplice,se poi ci aggiungi la vita privata. Un mix esplosivo!
Ma non mollo, e mi prometto di andare a rivedere tutte queste cose.
Grazie
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