Ammortamento Francese, rendita perpetua e acquisto macchinario
Vediamo di seguito una serie di quesiti interessanti che abbracciano ammortamenti, rendite e valore attuale di un acquisto. Il testo recita così:
Il signor Rossi ha riscosso per 6 anni consecutivi, fino ad oggi compreso, le sei rate costanti d'ammortamento di un prestito di 300.000 euro concesso al tasso del 4,5%. Tali rate egli le ha via via depositate in banca al tasso del 3%. Impiega la somma di cui dispone oggi nell'acquisto di un macchinario. Poiché, però, la somma accumulata non è sufficiente a coprire il costo di acquisto di un macchinario, il signor Rossi versa il ricavo derivante dalla cessione di una rendita perpetua posticipata avente rata crescente in progressione geometrica al 4% annuo con rata all'anno corrente pari a 1500 euro, valutata al 5% e si impegna a versare tra un anno 30.000 euro.
A)Presentare il piano di ammortamento del prestito di 300.000 euro;
B)Il valore attuale della rendita ceduta;
C)Determinare il prezzo corrente del macchinario acquistato dal signor Rossi se il tasso di interesse applicato dal venditore per attualizzare i pagamenti futuri è del 2,5%.
Soluzione:
Punto A: Calcoliamo la rata dell'ammortamento francese (rate costanti) del capitale 300.000 euro al tasso del 4,5%:
$ R=300.000/[(1-(1+0,045)^-6)/(0,045)]=58163,51625 $
Stiliamo il piano di ammortamento:
Contestualmente - dice il testo - deposita queste 6 rate presso una banca al tasso del 3%; questo significa che alla data odierna, avrà accumulato: $ M=58163,5163*((1+0,03)^6-1)/(0,03)=376225,4637 $
Tale somma viene impiegata per acquistare un macchinario, ma non è sufficiente; vediamo allora il valore attuale della rendita!
Punto B: Si tratta di una rendita perpetua in progressione geometrica, che ricaviamo dalla formula:
$ lim_(n -> oo)(1-(qv)^n)/ (j-i) $ ovvero la formula di una rendita in progressione geometrica di ragione $qv=(1+j)/(1+i)$. Poiché al tendere di n ad infinito, la quantità qv tenderà a zero, il valore attuale di questa rendita è semplicemente: $1/(j-i)$; perciò, applicata al problema: $ 1/(0,05-0,04)*1500=150.000 $
Punto C: Arrivati a questo punto, credo si tratti semplicemente di attualizzare i 30.000 euro che verserà tra un anno al tasso di attualizzazione del venditore: $ VA=30.000*(1+0,025)^-1=29268,293 $
Il prezzo del macchinario immagino sia dato dalla somma: $ P=29268,293+376225,4637+150.000=555493,723 $
Ai (posteri) l'ardua sentenza sul mio operato!
Il signor Rossi ha riscosso per 6 anni consecutivi, fino ad oggi compreso, le sei rate costanti d'ammortamento di un prestito di 300.000 euro concesso al tasso del 4,5%. Tali rate egli le ha via via depositate in banca al tasso del 3%. Impiega la somma di cui dispone oggi nell'acquisto di un macchinario. Poiché, però, la somma accumulata non è sufficiente a coprire il costo di acquisto di un macchinario, il signor Rossi versa il ricavo derivante dalla cessione di una rendita perpetua posticipata avente rata crescente in progressione geometrica al 4% annuo con rata all'anno corrente pari a 1500 euro, valutata al 5% e si impegna a versare tra un anno 30.000 euro.
A)Presentare il piano di ammortamento del prestito di 300.000 euro;
B)Il valore attuale della rendita ceduta;
C)Determinare il prezzo corrente del macchinario acquistato dal signor Rossi se il tasso di interesse applicato dal venditore per attualizzare i pagamenti futuri è del 2,5%.
Soluzione:
Punto A: Calcoliamo la rata dell'ammortamento francese (rate costanti) del capitale 300.000 euro al tasso del 4,5%:
$ R=300.000/[(1-(1+0,045)^-6)/(0,045)]=58163,51625 $
Stiliamo il piano di ammortamento:
Contestualmente - dice il testo - deposita queste 6 rate presso una banca al tasso del 3%; questo significa che alla data odierna, avrà accumulato: $ M=58163,5163*((1+0,03)^6-1)/(0,03)=376225,4637 $
Tale somma viene impiegata per acquistare un macchinario, ma non è sufficiente; vediamo allora il valore attuale della rendita!
Punto B: Si tratta di una rendita perpetua in progressione geometrica, che ricaviamo dalla formula:
$ lim_(n -> oo)(1-(qv)^n)/ (j-i) $ ovvero la formula di una rendita in progressione geometrica di ragione $qv=(1+j)/(1+i)$. Poiché al tendere di n ad infinito, la quantità qv tenderà a zero, il valore attuale di questa rendita è semplicemente: $1/(j-i)$; perciò, applicata al problema: $ 1/(0,05-0,04)*1500=150.000 $
Punto C: Arrivati a questo punto, credo si tratti semplicemente di attualizzare i 30.000 euro che verserà tra un anno al tasso di attualizzazione del venditore: $ VA=30.000*(1+0,025)^-1=29268,293 $
Il prezzo del macchinario immagino sia dato dalla somma: $ P=29268,293+376225,4637+150.000=555493,723 $
Ai (posteri) l'ardua sentenza sul mio operato!
Risposte
"carlo91":
deposita queste 6 rate presso una banca al tasso del 3%; questo significa che alla data odierna, avrà accumulato: $ M=58163,5163*((1+0,03)^6-1)/(0,03)=376225,4637 $
il risultato è indubbiamente corretto....meno corretto è il procedimento adottato per arrivarci....secondo me ti è andata di lusso ma hai ragionato male...
infatti il Sig Rossi deposita le rate non appena le incassa...quindi incassa le 6 rate ai tempi 1,2,3,4,5,6 (se oggi siamo a 6)
Quindi è una rendita anticipata di 5 rate + una che non va capitalizzata....quindi la formula viene
$R[(1,03^5-1)/(0,03)1,03+1]=R[(1,03^6-1,03+0,03)/(0,03)]=R(1,03^6-1)/(0,03)$
che COINCIDE con la tua formula....ma ha un significato finanziario molto differente....
la prima parte va bene...incluso il piano...
coincide perché la formula del montante posticipato è il valore equivalente alla rendita calcolato nel momento in cui si versa l'ultima rata(che coincide con oggi,6)
e la seconda parte?
"carlo91":
Punto B: Si tratta di una rendita perpetua in progressione geometrica, che ricaviamo dalla formula:
$ lim_(n -> oo)(1-(qv)^n)/ (j-i) $ ovvero la formula di una rendita in progressione geometrica di ragione $qv=(1+j)/(1+i)$. Poiché al tendere di n ad infinito, la quantità qv tenderà a zero, il valore attuale di questa rendita è semplicemente: $1/(j-i)$; perciò, applicata al problema: $ 1/(0,05-0,04)*1500=150.000 $
perfetto!
"carlo91":
Il prezzo del macchinario immagino sia dato dalla somma: $ P=29268,293+376225,4637=405493,723 $
mi sa che hai solo dimenticato di aggiungere il valore della rendita ceduta di 150k euro....
"tommik":
[quote="carlo91"]
Il prezzo del macchinario immagino sia dato dalla somma: $ P=29268,293+376225,4637=405493,723 $
mi sa che hai solo dimenticato di aggiungere il valore della rendita ceduta di 150k euro....[/quote]
si, ero indeciso se metterla o meno perché lui dice, dopo avere ceduta la rendita, che si impegna a versare 30.000 euro l'anno dopo. Ed ero indeciso sul fatto che questi 30.000 fossero parte della rendita o meno. Quindi devo sommarla, lo correggo
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo