Ammortamento debito formula

[marcosocio]

Salve a tutti. Premetto che non so praticamente nulla di matematica finanziaria e questo dubbio nasce da una necessità. Devo calcolare in quanti anni $n$ potrei estinguere un debito $C_0$ pagando rate annue da $R$ ciascuna con un'interesse $i$ che viene applicato anno dopo anno sull'importo rimasto da pagare.

Ho pensato che dopo un anno il capitale ancora da pagare sarebbe:
$$C_1=C_0-R+i(C_0-R)$$
Dopo due:
$$C_2=C_1-R+i(C_1-R)=C_0-2R+i(C_0-2R)$$
Quindi dopo $n$ anni:
$$C_n=C_0-nR+i(C_0-nR)=(C_0-nR)(1+i)$$

Il problema è che non ho trovato nessuna formula neanche lontanamente simile a questa... Qualcuno può darmi la formula esatta, spiegarmela e dirmi dove ho sbagliato? Grazie in anticipo!

[Studente Anonimo]

La risposta è $n$ anni. Ti interessano le formule per l'ammortamento francese?

[marcosocio]

Sì ma penso di aver capito dove sbagliavo: consideravo che l'intera rata andasse a ridurre il capitale dovuto, mentre parte sono interessi. Vero?

[Studente Anonimo]

Guardati questo file http://www.mediafire.com/view/?1keitysotxrmzfp dove sono costruiti tutti i possibili ammortamenti a tasso costante.

[marcosocio]

Grazie! Ma allora non riesco a capire dove sbaglio, puoi spiegarmelo?

[marcosocio]

Come non detto ho capito! L'unica cosa, potresti spiegarmi come si arriva alla formula $R=\frac{C_0\cdoti\cdot(1+i)^n}{(1+i)^n-1}$?

[Studente Anonimo]

"marcosocio":Come non detto ho capito! L'unica cosa, potresti spiegarmi come si arriva alla formula $R=\frac{C_0\cdoti\cdot(1+i)^n}{(1+i)^n-1}$?

Questa formula non la conosco sinceramente. Comunque per il calcolo della rata $R$ in un ammortamento francese si parte dal principio di equivalenza finanziaria il quale afferma che: il valore attuale di tutte le rate deve essere uguale al capitale $C$ preso in prestito al tasso $i$. In formule:
$C=R(1+i)^(-1)+R(1+i)^(-2)+R(1+i)^(-3)+...+R(1+i)^(-n)$
$C=R[(1+i)^(-1)+(1+i)^(-2)+(1+i)^(-3)+...+(1+i)^(-n)]$
$C=R(1+i)^(-1)[1+(1+i)^(-1)+(1+i)^(-2)+...+(1+i)^(-n+1)]$ (questa è una progressione geometrica di ragione $(1+i)^(-1)$, $n$ termini e primo termine $1$) che diventa:
$C=R(1+i)^(-1)((1+i)^(-n)-1)/((1+i)^(-1)-1)$. Facendo le opportune semplificazioni ottieni $R=(Ci)/(1-(1+i)^(-n))$.
Se hai dubbi scrivi pure.

[marcosocio]

Sono uguali Se in quella che hai scritto tu la moltiplichi il secondo membro per $((1+i)^n)/((1+i)^n)$ ottieni quella che ho scritto io!
Potresti solo spiegarmi meglio come si arriva al primo passaggio che hai scritto?

[Studente Anonimo]

Deriva tutto dal principio di equivalenza finanziaria. Infatti indicata con $R>0$ la rata costante di un ammortamento, nel nostro caso, francese attualizzando le stesse cioè moltiplicando per il fattore di attualizzazione $(1+i)^(-j)$ con $j=1,...,n$ devi ottenere il capitale $C>0$ preso a prestito al tasso costante $i>0$. Si tratta di rispettare tre condizioni fondamentali in un qualsiasi ammortamento:
1) attualizzazione rate coincidente con il capitale preso a prestito
2) condizione di legalità, cioè debiti residui decrescenti
3) condizione di chiusura , cioè debito residuo finale pari a $0$

[marcosocio]

Ok grazie era il fattore di attualizzazione che non capivo!