A quale tempo conviene ottenere la somma in anticipo
Ciao, avrei bisogno di un aiuto su questo esercizio:
"sappiamo che avremo a disposizione 10.000 euro tra 1 anno. Una società finanziaria accetta di anticipare la somma, a un qualsiasi momento dell'anno utilizzando il regime di interesse anticipato con tasso di sconto $d=3%$. Possiamo poi investire, in qualunque momento, in un conto corrente bancario che garantisce un tasso semplice $j=3.1%$ in regime di interesse semplice. Tra quanto ci conviene farci anticipare la somma? (in mesi-giorni in convenzione 30/360)."
Mi trovo in difficoltà e per svolgerlo ho pensato:
devo cercare di massimizzare la somma in regime di interesse anticipato così a quella data posso investirla sul conto corrente. Quindi massimizzare $v(t)=1-dt$ con $tin[0,1]$ cioè $v(t)=10.000*(1-0.03*t)$ però così non arrivo a niente perché questa descrive solo una funzione decrescente
probabilmente va considerata anche una qualche funzione in regime di interesse semplice ma non so proprio come procedere, potreste aiutarmi per favore ad andare avanti?
Come soluzione mi viene data questa T= 5 mesi 16 giorni.
"sappiamo che avremo a disposizione 10.000 euro tra 1 anno. Una società finanziaria accetta di anticipare la somma, a un qualsiasi momento dell'anno utilizzando il regime di interesse anticipato con tasso di sconto $d=3%$. Possiamo poi investire, in qualunque momento, in un conto corrente bancario che garantisce un tasso semplice $j=3.1%$ in regime di interesse semplice. Tra quanto ci conviene farci anticipare la somma? (in mesi-giorni in convenzione 30/360)."
Mi trovo in difficoltà e per svolgerlo ho pensato:
devo cercare di massimizzare la somma in regime di interesse anticipato così a quella data posso investirla sul conto corrente. Quindi massimizzare $v(t)=1-dt$ con $tin[0,1]$ cioè $v(t)=10.000*(1-0.03*t)$ però così non arrivo a niente perché questa descrive solo una funzione decrescente
probabilmente va considerata anche una qualche funzione in regime di interesse semplice ma non so proprio come procedere, potreste aiutarmi per favore ad andare avanti?
Come soluzione mi viene data questa T= 5 mesi 16 giorni.
Risposte
Carino l'esercizio! Ci ho dovuto ragionare un po', ma è facile. Il problema è che sbagli funzione da massimizzare. In particolare devi tenere in considerazione anche il tasso al quale investi: l'importo scontato che ricevi deve essere infatti poi investito. Quindi si tratta di massimizzare la seguente funzione
$f(t)=10.000* (1-dt)*(1+jt)$
Infatti $10.000* (1-dt)$ è la somma che la società finanziaria ti anticipa, che poi investi sul conto corrente bancario (quindi moltiplichi per $1+jt$).
Sostituendo $d=0,03$ e $j=0,031$, si ha:
$f(t)=10.000* (1-0,03*t)*(1+0,031*t)=-9,3* t^2+10 *t +10.000 $
Che è una parabola con concavità verso il basso (e quindi ha un massimo nel vertice). L'ascissa del massimo è data da:
$t_max=-10/{2*(-9,3)}= 50/ 93~~0,5376344086$
Ora bisogna "ragionare con la testa". Non hai trovato la data in cui richiedere l'anticipo, ma il tempo che massimizza l'operazione finanziaria, ossia il tempo che passa dal momento dell'investimento alla fine dell'anno. Quindi la data che corrisponde alla soluzione è:
$t_max^{\star}=1-50/ 93~~0,4623655913$
Espresso in mesi e giorni, hai:
$t_max^{\star}~~0,4623655913 * 12$ $ \text{mesi}=5,548387096$ $ \text{mesi}=5$ $\text{mesi e}$ $0,548387096*30 $ $\text{giorni}=5$ $\text{mesi e}$ $16$ $\text{giorni}$
$f(t)=10.000* (1-dt)*(1+jt)$
Infatti $10.000* (1-dt)$ è la somma che la società finanziaria ti anticipa, che poi investi sul conto corrente bancario (quindi moltiplichi per $1+jt$).
Sostituendo $d=0,03$ e $j=0,031$, si ha:
$f(t)=10.000* (1-0,03*t)*(1+0,031*t)=-9,3* t^2+10 *t +10.000 $
Che è una parabola con concavità verso il basso (e quindi ha un massimo nel vertice). L'ascissa del massimo è data da:
$t_max=-10/{2*(-9,3)}= 50/ 93~~0,5376344086$
Ora bisogna "ragionare con la testa". Non hai trovato la data in cui richiedere l'anticipo, ma il tempo che massimizza l'operazione finanziaria, ossia il tempo che passa dal momento dell'investimento alla fine dell'anno. Quindi la data che corrisponde alla soluzione è:
$t_max^{\star}=1-50/ 93~~0,4623655913$
Espresso in mesi e giorni, hai:
$t_max^{\star}~~0,4623655913 * 12$ $ \text{mesi}=5,548387096$ $ \text{mesi}=5$ $\text{mesi e}$ $0,548387096*30 $ $\text{giorni}=5$ $\text{mesi e}$ $16$ $\text{giorni}$
Grazie mille! Ora torna anche a me il ragionamento, non sapevo più dove sbattere la testa con questo esercizio!Spiegato così sembra veramente facile, grazie per la spiegazione chiara e precisa, gentilissimo!
Di niente! 
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