Vincoli efficaci: matrice Jacobiana e linearizzazione
Ho alcune domande da porvi e spero che qualcuno possa aiutarmi:
Parto da questa affermazione (pagina 32 Appunti di Meccanica razionale di Battaia w w w.batmath.it/fisica/0-appunti_uni/testo_fis_mat.pdf):
PRIMA DOMANDA: come si fa a stabilire, analiticamente se il sistema è compatibile?
SECONDA DOMANDA: perchè il rango della matrice Jacobiana deve essere massimo?
TERZA DOMANDA: come si fa a stabilire se il sistema vincolato è labile (staticamente determinato/indeterminato), isostatico o iperstatico?E che legame c'è con i vincoli efficaci?
Provo a rispondere (almeno parzialmente):
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PRIMA DOMANDA
A pagina 190 di w w w.science.unitn.it/~moretti/cap7FMI.pdf ho letto:
Le condizioni $f_i$ devono essere soddisfatte in un insieme non vuoto.
Questo vuol dire che le condizioni di vincolo sono non compatibili quando l'unica soluzione del sistema $(3.2)$ è la soluzione banale?
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SECONDA DOMANDA
Per rispondere a questa domanda ho dovuto usare un po' di fantasia, per cui se dico castronerie perdonatemi.
Partiamo dal fatto che so che il numero di equazioni indipendenti di un sistema di equazioni lineari è pari al rango della matrice dei coefficienti.
Nel caso in esame le equazioni presenti in $(3.2)$ non sono in generale lineari (non lo sono mai?) e quindi non è possibile applicare la proprietà di cui sopra.
E' necessario quindi linearizzare le equazioni $(3.2)$ utilizzando la matrice Jacobiana, in quanto, fonte Wikipedia: L'importanza della matrice Jacobiana è legata al fatto che rappresenta la migliore approssimazione lineare di una funzione differenziabile vicino ad un punto dato. In questo senso la jacobiana permette di generalizzare il concetto di derivata estendendo tale nozione alle funzioni di più variabili.
Questa mia "geniale deduzione"
è avvalorata dal fatto che, in Scienza delle Costruzioni quando scriviamo le relazioni che definiscono un tipo di vincolo ci poniamo nell'ipotesi di "piccoli spostamenti" impediti dal vincolo, il che, in altri termini significa ottenere delle equazioni di vincolo lineari: per calcolare la labilità del sistema si calcola il rango della matrice dei coefficienti delle equazioni lineari ottenute.
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TERZA DOMANDA
Se il rango $rk(J)$ della matrice è pari al numero $r$ dei parametri di $(3.2)$ allora tutte le equazioni di vincolo sono efficaci ed il sistema è isostatico (ovvero iperstatico quando $rk(J)>r$); viceversa quando solo $rk(J)$ equazioni sono efficaci mentre le restanti $r-rk(J)$ sono non efficaci il sistema è labile ($r-rk(J)$ sono i gradi di libertà del sistema)
Parto da questa affermazione (pagina 32 Appunti di Meccanica razionale di Battaia w w w.batmath.it/fisica/0-appunti_uni/testo_fis_mat.pdf):
PRIMA DOMANDA: come si fa a stabilire, analiticamente se il sistema è compatibile?
SECONDA DOMANDA: perchè il rango della matrice Jacobiana deve essere massimo?
TERZA DOMANDA: come si fa a stabilire se il sistema vincolato è labile (staticamente determinato/indeterminato), isostatico o iperstatico?E che legame c'è con i vincoli efficaci?
Provo a rispondere (almeno parzialmente):
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PRIMA DOMANDA
A pagina 190 di w w w.science.unitn.it/~moretti/cap7FMI.pdf ho letto:
Le condizioni $f_i$ devono essere soddisfatte in un insieme non vuoto.
Questo vuol dire che le condizioni di vincolo sono non compatibili quando l'unica soluzione del sistema $(3.2)$ è la soluzione banale?
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SECONDA DOMANDA
Per rispondere a questa domanda ho dovuto usare un po' di fantasia, per cui se dico castronerie perdonatemi.
Partiamo dal fatto che so che il numero di equazioni indipendenti di un sistema di equazioni lineari è pari al rango della matrice dei coefficienti.
Nel caso in esame le equazioni presenti in $(3.2)$ non sono in generale lineari (non lo sono mai?) e quindi non è possibile applicare la proprietà di cui sopra.
E' necessario quindi linearizzare le equazioni $(3.2)$ utilizzando la matrice Jacobiana, in quanto, fonte Wikipedia: L'importanza della matrice Jacobiana è legata al fatto che rappresenta la migliore approssimazione lineare di una funzione differenziabile vicino ad un punto dato. In questo senso la jacobiana permette di generalizzare il concetto di derivata estendendo tale nozione alle funzioni di più variabili.
Questa mia "geniale deduzione"
è avvalorata dal fatto che, in Scienza delle Costruzioni quando scriviamo le relazioni che definiscono un tipo di vincolo ci poniamo nell'ipotesi di "piccoli spostamenti" impediti dal vincolo, il che, in altri termini significa ottenere delle equazioni di vincolo lineari: per calcolare la labilità del sistema si calcola il rango della matrice dei coefficienti delle equazioni lineari ottenute.----------------------------------------------------------------------------------------------------------
TERZA DOMANDA
Se il rango $rk(J)$ della matrice è pari al numero $r$ dei parametri di $(3.2)$ allora tutte le equazioni di vincolo sono efficaci ed il sistema è isostatico (ovvero iperstatico quando $rk(J)>r$); viceversa quando solo $rk(J)$ equazioni sono efficaci mentre le restanti $r-rk(J)$ sono non efficaci il sistema è labile ($r-rk(J)$ sono i gradi di libertà del sistema)
Risposte
1) Significa che deve esserci almeno una soluzione del sistema 3.2, che individua, mediante i valori dei parametri, una configurazione del sistema.
2) Il rango della matrice deve essere massimo attorno ad ogni punto che costituisce soluzione del sistema 3.2, perchè così i vincoli sono efficaci in ogni configurazione che è soluzione di 3.2. Anche se dal punto di vista cinematico i vincoli sono sufficienti ad individuare una configurazione del sistema (un piano tangente ad una superficie sferica la incontra in un punto, così come uno tangente ad una superficie cilindrica la incontra su una retta), perchè i vincoli (lisci) siano efficaci devono essere impediti atti di moto che non sono associati ai gradi di libertà del sistema.
Considerando l'esempio del piano tangente alla sfera su cui è vincolato un punto materiale. Anche se la soluzione è un punto, in questo punto le reazioni vincolari, del piano e della sfera, sono perpendicolari al piano e al tangente alla sfera, per cui non sono in grado di equilibrare una forza esterna agente sul punto materiale genericamente orientata.
2) Il rango della matrice deve essere massimo attorno ad ogni punto che costituisce soluzione del sistema 3.2, perchè così i vincoli sono efficaci in ogni configurazione che è soluzione di 3.2. Anche se dal punto di vista cinematico i vincoli sono sufficienti ad individuare una configurazione del sistema (un piano tangente ad una superficie sferica la incontra in un punto, così come uno tangente ad una superficie cilindrica la incontra su una retta), perchè i vincoli (lisci) siano efficaci devono essere impediti atti di moto che non sono associati ai gradi di libertà del sistema.
Considerando l'esempio del piano tangente alla sfera su cui è vincolato un punto materiale. Anche se la soluzione è un punto, in questo punto le reazioni vincolari, del piano e della sfera, sono perpendicolari al piano e al tangente alla sfera, per cui non sono in grado di equilibrare una forza esterna agente sul punto materiale genericamente orientata.
"sonoqui_":
1) Significa che deve esserci almeno una soluzione del sistema 3.2, che individua, mediante i valori dei parametri, una configurazione del sistema.
2) Il rango della matrice deve essere massimo attorno ad ogni punto che costituisce soluzione del sistema 3.2, perchè così i vincoli sono efficaci in ogni configurazione che è soluzione di 3.2. Anche se dal punto di vista cinematico i vincoli sono sufficienti ad individuare una configurazione del sistema (un piano tangente ad una superficie sferica la incontra in un punto, così come uno tangente ad una superficie cilindrica la incontra su una retta), perchè i vincoli (lisci) siano efficaci devono essere impediti atti di moto che non sono associati ai gradi di libertà del sistema.
Considerando l'esempio del piano tangente alla sfera su cui è vincolato un punto materiale. Anche se la soluzione è un punto, in questo punto le reazioni vincolari, del piano e della sfera, sono perpendicolari al piano e al tangente alla sfera, per cui non sono in grado di equilibrare una forza esterna agente sul punto materiale genericamente orientata.
Grazie per aver risposto....anche se non ho ben capito l'esempio del piano e della sfera. E non ho capito neppure come si fa a stabilire, analiticamente, come verificare la condizione 1). Inoltre mi dici che se il rango è massimo i vincoli sono efficaci...ok ma perchè? Ovvero, il signor Jacobi si è svegliato un giorno e ha deciso che la sua matrice avrebbe avuto questa proprietà?
Per verificare la condizione 1 è sufficiente trovare una soluzione del sistema 3.2.
Per trovare il campo di esistenza della soluzioni si devono trovare tutte le soluzomo di 3.2. Solo così si è sicuri che per ogni configurazione possibile del sistema di punti materiali i vincoli siano efficaci.
In pratica la matrice Jacobiana esprime i coefficienti relativi al piano tangente alla superficie del vincolo nel punto considerato, al quale è perpendicolare la forza di reazione del vincolo, in caso di vincolo liscio.
Se per una coppia di vincoli sullo stesso punto materiale i piani tangenti in un punto sono paralleli, la matrice Jacobiana non ha rango massimo e le reazioni vincolari, sommate, non sono in grado di equilibrare una forza orientata in maniera qualsiasi, sul piano perpendicolare alla tangente all'intersezione delle due superfici del vincolo nel punto considerato, essendo parallele, ma solo una forza perpendicolare ai vincoli nel punto.
Per trovare il campo di esistenza della soluzioni si devono trovare tutte le soluzomo di 3.2. Solo così si è sicuri che per ogni configurazione possibile del sistema di punti materiali i vincoli siano efficaci.
In pratica la matrice Jacobiana esprime i coefficienti relativi al piano tangente alla superficie del vincolo nel punto considerato, al quale è perpendicolare la forza di reazione del vincolo, in caso di vincolo liscio.
Se per una coppia di vincoli sullo stesso punto materiale i piani tangenti in un punto sono paralleli, la matrice Jacobiana non ha rango massimo e le reazioni vincolari, sommate, non sono in grado di equilibrare una forza orientata in maniera qualsiasi, sul piano perpendicolare alla tangente all'intersezione delle due superfici del vincolo nel punto considerato, essendo parallele, ma solo una forza perpendicolare ai vincoli nel punto.
Grazie ancora per il chiarimento che, da un punto di vista funzionale, mi sarà sicuramente utile in futuro (quando studierò i vincoli lisci, le reazioni vincolari etc.). Credo che comunque la risposta vada ricercata, almeno da un punto di vista analitico, nel teorema di Dini.
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