Trasformate di Laplace
salve ho intrapreso lo studio di analisi matematica 3 e mi è capitato di fare la trasformata di laplace di questa funzione (t-[t])^2 u(t) dove [t] è la funzione parte intera di t. Sapreste darmi una mano su come svolgere questo esercizio?
Risposte
Potresti tenere presente che [tex]$t-[t]$[/tex] è la parte frazionaria di [tex]$t$[/tex], cosicché per risulta:
[tex]$(t-[t])\ \text{u} (t):= t-n \text{, se $n\leq t
Il grafico di [tex]$(t-[t])\ \text{u} (t)$[/tex] è quello riportato qui sotto (il pallino arancione significa che il valore non è assunto):
[asvg]xmin=-2;xmax=4;ymin=-3;ymax=3;
axes("","grid");
stroke="red";
line([-3,0],[0,0]);
line([0,0],[1,1]);
line([1,0],[2,1]);
line([2,0],[3,1]);
line([3,0],[4,1]);
line([4,0],[5,1]);
stroke="orange";
dot([1,1]);
dot([2,1]);
dot([3,1]);
dot([4,1]);[/asvg]
Facendo i conti si trova:
[tex]$(t-[t])^2\ \text{u} (t) =\{ (t-[t])\ \text{u} (t)\}^2=(t-n)^2 \text{, se $n\leq t
cosicché il grafico della funzione trasformanda [tex]$f(t):=(t-[t])^2\ \text{u} (t)$[/tex] è:
[asvg]xmin=-2;xmax=4;ymin=-3;ymax=3;
axes("","");
stroke="dodgerblue";
line([-3,0],[0,0]);
plot("x^2",0,1);
plot("(x-1)^2",1,2);
plot("(x-2)^2",2,3);
plot("(x-3)^2",3,4);
plot("(x-4)^2",4,5);
stroke="cyan";
dot([1,1]);
dot([2,1]);
dot([3,1]);
dot([4,1]);[/asvg]
Si vede che fissato [tex]$t\geq 0$[/tex] ed un naturale [tex]$k$[/tex] risulta [tex]$f(t+k)=f(t)$[/tex].
La trasformata di Laplace di [tex]$f$[/tex] si può allora calcolare con un opportuno artificio, che coinvolge un elementare cambiamento di variabile: si ha:
[tex]$\mathcal{L}[f](s) =\int_{0}^{+\infty} f(t)\ e^{-st}\ \text{d} t$[/tex]
[tex]$=\int_0^1 t^2\ e^{-st}\ \text{d} t +\int_1^{+\infty} f(t)\ e^{-st}\ \text{d} t$[/tex] (ora faccio un cambiamento di variabile nel 2° integrale)
[tex]$\stackrel{\tau=t-1}{=} \int_0^1 t^2\ e^{-st}\ \text{d} t +\int_0^{+\infty} f(\tau +1) \ e^{-s(\tau +1)}\ \text{d} \tau$[/tex]
[tex]$=\int_0^1 t^2\ e^{-st}\ \text{d} t +e^{-s}\ \int_0^{+\infty} f(\tau) \ e^{-s\tau}\ \text{d} \tau$[/tex]
[tex]$=\int_0^1 t^2\ e^{-st}\ \text{d} t +e^{-s}\ \mathcal{L}[f](s)$[/tex]
cosicché:
[tex]$\mathcal{L}[f](s)=\frac{1}{1-e^{-s}}\ \int_0^1 t^2\ e^{-s t}\ \text{d} t$[/tex].
Quindi basta calcolare l'integrale a secondo membro per ottenere il risultato.
P.S.: Ovviamente questo trucco, opportunamente adattato, funziona per tutte le funzioni [tex]$f$[/tex] tali che esista un [tex]$T>0$[/tex] tale che [tex]$f(t+T)=f(t)$[/tex] per ogni [tex]$t\geq 0$[/tex].
[tex]$(t-[t])\ \text{u} (t):= t-n \text{, se $n\leq t
Il grafico di [tex]$(t-[t])\ \text{u} (t)$[/tex] è quello riportato qui sotto (il pallino arancione significa che il valore non è assunto):
[asvg]xmin=-2;xmax=4;ymin=-3;ymax=3;
axes("","grid");
stroke="red";
line([-3,0],[0,0]);
line([0,0],[1,1]);
line([1,0],[2,1]);
line([2,0],[3,1]);
line([3,0],[4,1]);
line([4,0],[5,1]);
stroke="orange";
dot([1,1]);
dot([2,1]);
dot([3,1]);
dot([4,1]);[/asvg]
Facendo i conti si trova:
[tex]$(t-[t])^2\ \text{u} (t) =\{ (t-[t])\ \text{u} (t)\}^2=(t-n)^2 \text{, se $n\leq t
cosicché il grafico della funzione trasformanda [tex]$f(t):=(t-[t])^2\ \text{u} (t)$[/tex] è:
[asvg]xmin=-2;xmax=4;ymin=-3;ymax=3;
axes("","");
stroke="dodgerblue";
line([-3,0],[0,0]);
plot("x^2",0,1);
plot("(x-1)^2",1,2);
plot("(x-2)^2",2,3);
plot("(x-3)^2",3,4);
plot("(x-4)^2",4,5);
stroke="cyan";
dot([1,1]);
dot([2,1]);
dot([3,1]);
dot([4,1]);[/asvg]
Si vede che fissato [tex]$t\geq 0$[/tex] ed un naturale [tex]$k$[/tex] risulta [tex]$f(t+k)=f(t)$[/tex].
La trasformata di Laplace di [tex]$f$[/tex] si può allora calcolare con un opportuno artificio, che coinvolge un elementare cambiamento di variabile: si ha:
[tex]$\mathcal{L}[f](s) =\int_{0}^{+\infty} f(t)\ e^{-st}\ \text{d} t$[/tex]
[tex]$=\int_0^1 t^2\ e^{-st}\ \text{d} t +\int_1^{+\infty} f(t)\ e^{-st}\ \text{d} t$[/tex] (ora faccio un cambiamento di variabile nel 2° integrale)
[tex]$\stackrel{\tau=t-1}{=} \int_0^1 t^2\ e^{-st}\ \text{d} t +\int_0^{+\infty} f(\tau +1) \ e^{-s(\tau +1)}\ \text{d} \tau$[/tex]
[tex]$=\int_0^1 t^2\ e^{-st}\ \text{d} t +e^{-s}\ \int_0^{+\infty} f(\tau) \ e^{-s\tau}\ \text{d} \tau$[/tex]
[tex]$=\int_0^1 t^2\ e^{-st}\ \text{d} t +e^{-s}\ \mathcal{L}[f](s)$[/tex]
cosicché:
[tex]$\mathcal{L}[f](s)=\frac{1}{1-e^{-s}}\ \int_0^1 t^2\ e^{-s t}\ \text{d} t$[/tex].
Quindi basta calcolare l'integrale a secondo membro per ottenere il risultato.
P.S.: Ovviamente questo trucco, opportunamente adattato, funziona per tutte le funzioni [tex]$f$[/tex] tali che esista un [tex]$T>0$[/tex] tale che [tex]$f(t+T)=f(t)$[/tex] per ogni [tex]$t\geq 0$[/tex].
Senza nulla togliere al fichissimo trucco di Gugo (il quale si è scordato un quadrato nell'integrale ), un altro modo di vedere la cosa: il segnale [tex]$f(t)$[/tex] è dato dalle repliche del triangolo [tex]$f_1(t)$[/tex], quindi basta calcolare la trasformata di Laplace [tex]$\mathcal{L}[f_1](s)$[/tex] di quest'ultimo e applicare infiniti operatori di ritardo:
[tex]$\mathcal{L}[f](s)=\sum_{n=0}^{\infty}\mathcal{L}[f_1](s)e^{-ns}=\mathcal{L}[f_1](s)\sum_{n=0}^{\infty}e^{-ns}=\frac{1}{1-e^{-s}} \cdot \mathcal{L}[f_1](s)$[/tex]
), un altro modo di vedere la cosa: il segnale [tex]$f(t)$[/tex] è dato dalle repliche del triangolo [tex]$f_1(t)$[/tex], quindi basta calcolare la trasformata di Laplace [tex]$\mathcal{L}[f_1](s)$[/tex] di quest'ultimo e applicare infiniti operatori di ritardo:[tex]$\mathcal{L}[f](s)=\sum_{n=0}^{\infty}\mathcal{L}[f_1](s)e^{-ns}=\mathcal{L}[f_1](s)\sum_{n=0}^{\infty}e^{-ns}=\frac{1}{1-e^{-s}} \cdot \mathcal{L}[f_1](s)$[/tex]
@ elgiovo: Grazie per avermi fatto notare l'errore (che ho prontamente corretto).
L'idea di usare la serie è ottima; però matematicamente parlando è un po' tricky (si deve controllare il tipo di convergenza della serie per passare la somma fuori dall'integrale, etc...) perciò non l'ho usata.
Inoltre, dovresti specificare che la serie geometrica [tex]$\sum e^{-ns}$[/tex] converge per [tex]$|e^{-s}|<1$[/tex], ossia per [tex]$\text{Re} s >e$[/tex].
L'idea di usare la serie è ottima; però matematicamente parlando è un po' tricky (si deve controllare il tipo di convergenza della serie per passare la somma fuori dall'integrale, etc...) perciò non l'ho usata.
Inoltre, dovresti specificare che la serie geometrica [tex]$\sum e^{-ns}$[/tex] converge per [tex]$|e^{-s}|<1$[/tex], ossia per [tex]$\text{Re} s >e$[/tex].
"gugo82":
@ elgiovo: Grazie per avermi fatto notare l'errore (che ho prontamente corretto).
L'idea di usare la serie è ottima; però matematicamente parlando è un po' tricky (si deve controllare il tipo di convergenza della serie per passare la somma fuori dall'integrale, etc...) perciò non l'ho usata.
Inoltre, dovresti specificare che la serie geometrica [tex]$\sum e^{-ns}$[/tex] converge per [tex]$|e^{-s}|<1$[/tex], ossia per [tex]$\text{Re} s >e$[/tex].
Certo certosino.
grazie mille per le risposte...ma quindi gugo il quadrato di (t-[t])^2 nn si sviluppa?
Visto che non ti serve a nulla svilupparlo, no.
In realtà, usando uno qualsiasi tra i due procedimenti illustrati (il mio e quello di elgiovo), per determinare quella trasformata ti serve solo conoscere i valori che la tua funzione assume tra [tex]$0$[/tex] ed [tex]$1$[/tex].
Visto che [tex]$\forall t\in [0,1],\ (t-[t])^2=t^2$[/tex], questo è tutto ciò che ti serve.
In realtà, usando uno qualsiasi tra i due procedimenti illustrati (il mio e quello di elgiovo), per determinare quella trasformata ti serve solo conoscere i valori che la tua funzione assume tra [tex]$0$[/tex] ed [tex]$1$[/tex].
Visto che [tex]$\forall t\in [0,1],\ (t-[t])^2=t^2$[/tex], questo è tutto ciò che ti serve.
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