Trasformata Fourier Segnale periodico
Devo trovare la trasformata di Fourier di questo segnale $ \sum_{n= - \infty }^{+ \infty } e^{- 2 \pi | \frac{t-nT_0}{T_0} |} $
Prima di tutto dato che è un segnale periodico allora vale:
La trasformata di Fourier di $ \sum_{n= - \infty }^{+ \infty } x_0 (t-nT) $ è uguale a $ X_0(kf_0) f_0 \delta (f- kf_0)$ . Ora quindi devi trovare il valore di $ X_0(kf_0)$ ma prima trovo il valore di $ X_0 (f) $
La trasformata di $ X_0(f) $ l’ho ricondotta a questa trasformata notevole :
La trasformata di $ e^{-a|t|} $ è uguale a $ \frac{2a}{a^{2} + w^{2} }$
Quindi la trasformata di $ e^{- 2 \pi | \frac{t-nT_0}{T_0} |} $ , che può anche essere scritto come $ e^{-2\pi |\ frac{t}{T_0} - n| } $ , allora sarà $ \frac{ 4 T_0 \pi }{4 (\pi )^{2} + w^{2} } $
Ora trovo $ X(k f_0) $ ponendo $ f= kf_0 $ , da cui ottengo $ X(k f_0) = \frac {T_0}{\pi + \pi k^{2} f_0^{2} } $
Da qui dunque ottengo che la $ X(f) = \frac {1}{\pi} \frac {1}{1 + k^{2} f_0 ^{2} } \delta(f- kf_0 ) $ mentre il risultato che il mio libro ottiene è $ X(f) = \frac {1}{\pi} \frac {1}{1 + k^{2} } \delta(f- kf_0 ) $
Prima di tutto dato che è un segnale periodico allora vale:
La trasformata di Fourier di $ \sum_{n= - \infty }^{+ \infty } x_0 (t-nT) $ è uguale a $ X_0(kf_0) f_0 \delta (f- kf_0)$ . Ora quindi devi trovare il valore di $ X_0(kf_0)$ ma prima trovo il valore di $ X_0 (f) $
La trasformata di $ X_0(f) $ l’ho ricondotta a questa trasformata notevole :
La trasformata di $ e^{-a|t|} $ è uguale a $ \frac{2a}{a^{2} + w^{2} }$
Quindi la trasformata di $ e^{- 2 \pi | \frac{t-nT_0}{T_0} |} $ , che può anche essere scritto come $ e^{-2\pi |\ frac{t}{T_0} - n| } $ , allora sarà $ \frac{ 4 T_0 \pi }{4 (\pi )^{2} + w^{2} } $
Ora trovo $ X(k f_0) $ ponendo $ f= kf_0 $ , da cui ottengo $ X(k f_0) = \frac {T_0}{\pi + \pi k^{2} f_0^{2} } $
Da qui dunque ottengo che la $ X(f) = \frac {1}{\pi} \frac {1}{1 + k^{2} f_0 ^{2} } \delta(f- kf_0 ) $ mentre il risultato che il mio libro ottiene è $ X(f) = \frac {1}{\pi} \frac {1}{1 + k^{2} } \delta(f- kf_0 ) $
Risposte
Scegli una variabile o $f$ o $\omega$ .
Quando hai ultimato i calcoli fai le sostituzioni.
A me piace $\omega$, anche perchè devo scrivere solo un carattere invece di tre come in questo caso $2\pi f$
OK si parte:
\(X_{0}\left ( \omega \right )=ℱ\left [ e^{-\omega _{0}\left | t \right |} \right ]=2\frac{\omega _{0}}{\omega _{0}^{2}+\omega ^{2}}\)
Calcolo i coefficienti che modulano le delte di Dirac:
\(C_{k}=\omega _{0}X_{0}\left ( k\omega _{0} \right )=2\frac{\omega _{0}^{2}}{\omega _{0}^{2}+\left ( k\omega _{0} \right )^{2}}=\frac{2}{k^{2}+1}\)
La trasformata è completa:
\(X\left ( \omega \right )=2\sum_{k=-\infty }^{+\infty }\frac{1}{k^{2}+1}\delta \left ( \omega -k\omega _{0} \right )\)
Adesso se vuoi puoi sostituire nella variabile $f$:
\(X\left ( f \right )=\frac{1}{\pi }\sum_{k=-\infty }^{+\infty }\frac{1}{k^{2}+1}\delta \left ( f -kf_{0} \right )\)
Quando hai ultimato i calcoli fai le sostituzioni.
A me piace $\omega$, anche perchè devo scrivere solo un carattere invece di tre come in questo caso $2\pi f$
OK si parte:
\(X_{0}\left ( \omega \right )=ℱ\left [ e^{-\omega _{0}\left | t \right |} \right ]=2\frac{\omega _{0}}{\omega _{0}^{2}+\omega ^{2}}\)
Calcolo i coefficienti che modulano le delte di Dirac:
\(C_{k}=\omega _{0}X_{0}\left ( k\omega _{0} \right )=2\frac{\omega _{0}^{2}}{\omega _{0}^{2}+\left ( k\omega _{0} \right )^{2}}=\frac{2}{k^{2}+1}\)
La trasformata è completa:
\(X\left ( \omega \right )=2\sum_{k=-\infty }^{+\infty }\frac{1}{k^{2}+1}\delta \left ( \omega -k\omega _{0} \right )\)
Adesso se vuoi puoi sostituire nella variabile $f$:
\(X\left ( f \right )=\frac{1}{\pi }\sum_{k=-\infty }^{+\infty }\frac{1}{k^{2}+1}\delta \left ( f -kf_{0} \right )\)
Come al solito Grazie Grazie Grazie !!! sbagliavo a considerare a, io la consideravo uguale a $ 2 \pi $ dimenticandomi il $ \frac{1}{T_0} $ , che le pensavo avesse una trasformata ‘a parte’ rispetto a quella notevole citata (e in più lo ignoravo proprio nel mio procedimento :/ ). Inoltre a un certo punto ho mescolato w e $ w_0 $ 
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