Trasformata di Laplace

[Colin19]

Ciao a tutti. Qualcuno riesce a svolgermi questa trasformata di Laplace, elencandomi i passaggi eseguiti?
$ u(t)=3*sin(2t+1)xx 1(t-2) $

grazie.

[RenzoDF]

Svolgertelo non servirebbe a nulla, potrei consigliarti di sfruttare alcune proprietà della trasformata di Laplace, la linearità per il fattore 3, la translazione nel tempo per togliere di mezzo il gradino ecc., ma io ti consiglio invece di andare ad usare direttamente la sua definizione integrale, operando una trasformazione di variabile (v=t-2) e sviluppando il seno con la formula di addizione, vedrai che tutto risulterà più chiaro.

[Colin19]

Preferirei che qualcuno svolgesse il calcolo. Grazie.

[RenzoDF]

Seguendo la strada classica, usando le proprietà e la conoscenza delle trasformate elementari, potrai cominciare con la "linearità" per scrivere [nota]Uso H(t) invece di 1(t) per indicare la funzione gradino.[/nota]

$\mathcal{L} [af(t)]=a\mathcal{L} [f(t)] \mapsto 3\mathcal{L} [sin(2t+1)H(t-2)]$

prosegui usando la proprietà della translazione nel tempo

$\mathcal{L} [f(t-a)]= e^{-as}\mathcal{L} [f(t)] \mapsto 3\mathcal{L} [sin(2t+1)H(t-2)]=3e^{-2s}\mathcal{L} [sin(2t+5)]$

sviluppi il seno per ricadere nelle trasformate elementari di seno e coseno

$sin(2t+5)=sin(2t)cos(5)+cos(2t)sin(5)$

e ancora la linearità

$\mathcal{L} [af(t)+bg(t)]=a\mathcal{L} [f(t)]+b\mathcal{L} [g(t)] \mapsto 3e^{-2s}\mathcal{L} [sin(2t+5)]=3e^{-2s} \text ({) cos(5)\mathcal{L} [sin(2t)]+sin(5)\mathcal{L} [cos(2t)] \text (})$

ed infine, ricordando le trasformate elementari del seno e del coseno

$\mathcal{L} [u(t)]=3e^{-2s}\frac{(2cos(5)+ s sin(5)) }{s^2+4}$

[Colin19]

Ciao Renzo, grazie mille per la risposta. Saresti così gentile da spiegarmi il passaggio della traslazione? Mi spiego meglio: non capito come esce quel +5 nell'argomento del seno, da "2t+1" è diventato "2t+5", mi sapresti dire perchè? Grazie.

[RenzoDF]

"Colin19":... Saresti così gentile da spiegarmi il passaggio della traslazione? Mi spiego meglio: non capito come esce quel +5 nell'argomento del seno, da "2t+1" è diventato "2t+5", mi sapresti dire perchè?

Semplicemente perché traslando nel tempo, al fine di fare scomparire il gradino, dovremo come ti dicevo effettuare un cambio di variabile, che in questo caso sarà $v=t-2$ e di conseguenza $t=v+2$; ne segue che

$sin(2t+1) \mapsto sin[2(v+2)+1]=sin(2v+5)$

chiaramente poi torneremo a rinominare $v$ come $t$.
Ripeto, se provi a scrivere la trasformata nella forma integrale, tutto ti sarà più chiaro.

BTW Non serve quotare tutto un precedente messaggio; puoi fare il favore di cancellare la fotocopia della mia risposta? Grazie.

[Colin19]

Ho capito, grazie ancora Renzo.