Trasformata di Fourier e Correlazione
Salve a tutti. Oggi ho fatto un esame e vorrei mostrarvi gli esercizi che ho fatto per rendermi conto, se ho sbagliato, degli errori fatti o se ho fatto tutto bene 
Vi sarei molto grato se mi rispondeste entro domani mattina in modo che possa rendermi conto di quello che ho fatto prima delle correzioni ufficiali e avere un'idea.
Esercizio 1
Calcolare la trasformata di Fourier e l'energia del seguente segnale/funzione :
$ t^2 $ per $ 0<=t<2 $
$-t+6 $ per $ 2<=t<0 $
$ 1 $ per $ 4<=t<6$
$ 0 $ altrove
Per risolvere la trasformata del primo pezzo ho pensato di considerare la derivata seconda del segnale $x(t)=t^2$ che sarebbe la costante uno e quindi $y(t)=rect((t-1)/2) -4delta(t-2)*e^(-j4pif)$ dove considero che la funzione è un archetto di parabola che finisce nel punto (2,4) e in questo punto la sua derivata è un impulso di Dirac applicato nel punto due e di valore 4 corrispondente al valore assunto dalla funzione di partenza in questo punto, giusto?.( Questa cosa non mi convince molto perchè la delta si ha anche quando derivo la prima volta e quindi dovrei derivarla due volte? E che funzione è la derivata della delta? Abbiamo visto a lezione la derivata della delta, ma solo nella teoria delle distribuzioni e sommariamente, mai in esercizi del genere!!!) A questo punto faccio la trasformata di quest'ultimo segnale ottenuto che è molto semplice e ottengo $Y(f)=2sinc(2f)*e^(-j2pif) -4delta(f)e^(-j4pif)$. Adesso, per ottenere la trasformata di Fourier del segnale di partenza vado ad applicare il teorema d'integrazione incompleto dividendo la $Y(f)$ due volte per $j2pif$, ottenendo cioè $Y(f)/-(2pif)^2$ E' giusto?
L'energia di questo pezzo di segnale è pari a $32/5$
Per risolvere la trasformata del secondo pezzo vado a fare la derivata di questa retta e ottengo la derivata $d(t)=-rect((t-3)/2) - 2delta(t-4)$ ovvero trasformata $D(f)=-2sinc(2f)e^(-j6pif) - 2delta(f)e^(-j8pif)$. A questo punto divido per $j2pif$ e ottengo la trasformata del segnale di partenza.
L'energia del segnale è circa 90.
Per risolvere la trasformata nel terzo intervallino, non c'è bisogno di fare nulla, infatti la trasformata è direttamente $X(f)=2sinc(2f)e^(-j10pif)$
La sua energia è 2.
E' giusto questo esercizio? Se non lo è, cosa ho sbagliato? Come dovrei procedere?
ESERCIZIO 2
Calcolare la cross correlazione tra i due segnali $x(t)=t*rect((t-1/2)/1)$ e $y(t)={1/2} * rect(t/2)$. La cross correlazione è definita in questo modo:
$ R_{xy}(tau)=int_(-oo)^(+oo) x(t)y(t-tau)dt $
Io ho deciso di traslare nel tempo la rect per semplificare i calcoli e quindi per questo ho scelto $y(t)$ come rect. A questo punto devo considerare i vari casi di ritardo possibili e i valori del prodotto tra le due funzioni nei vari casi per poi calcolarne l'integrale. Notiamo che:
-per $tau>2$ la rect è spostata in avanti e non si tocca con il triangolino, quindi correlazione Nulla
-per $tau<-1$ la rect è stata traslata verso sinistra ( asse negativo) e quindi come prima correlazione Nulla
- per $tau=0$ la rect contiene tutto il triangolino e quindi l'area della funzione prodotto è la metà dell'area del triangolino, quindi $1/4$ ( visto che l'ampiezza della rect è $1/2$).
-per $0
Aspetto vostre risposte entro domani mattina. Vi prego, domani ci saranno le correzioni e potrei anche fare l'esame orale, quindi ditemi cosa ho combinato
Vi sarei molto grato se mi rispondeste entro domani mattina in modo che possa rendermi conto di quello che ho fatto prima delle correzioni ufficiali e avere un'idea.Esercizio 1
Calcolare la trasformata di Fourier e l'energia del seguente segnale/funzione :
$ t^2 $ per $ 0<=t<2 $
$-t+6 $ per $ 2<=t<0 $
$ 1 $ per $ 4<=t<6$
$ 0 $ altrove
Per risolvere la trasformata del primo pezzo ho pensato di considerare la derivata seconda del segnale $x(t)=t^2$ che sarebbe la costante uno e quindi $y(t)=rect((t-1)/2) -4delta(t-2)*e^(-j4pif)$ dove considero che la funzione è un archetto di parabola che finisce nel punto (2,4) e in questo punto la sua derivata è un impulso di Dirac applicato nel punto due e di valore 4 corrispondente al valore assunto dalla funzione di partenza in questo punto, giusto?.( Questa cosa non mi convince molto perchè la delta si ha anche quando derivo la prima volta e quindi dovrei derivarla due volte? E che funzione è la derivata della delta? Abbiamo visto a lezione la derivata della delta, ma solo nella teoria delle distribuzioni e sommariamente, mai in esercizi del genere!!!) A questo punto faccio la trasformata di quest'ultimo segnale ottenuto che è molto semplice e ottengo $Y(f)=2sinc(2f)*e^(-j2pif) -4delta(f)e^(-j4pif)$. Adesso, per ottenere la trasformata di Fourier del segnale di partenza vado ad applicare il teorema d'integrazione incompleto dividendo la $Y(f)$ due volte per $j2pif$, ottenendo cioè $Y(f)/-(2pif)^2$ E' giusto?
L'energia di questo pezzo di segnale è pari a $32/5$
Per risolvere la trasformata del secondo pezzo vado a fare la derivata di questa retta e ottengo la derivata $d(t)=-rect((t-3)/2) - 2delta(t-4)$ ovvero trasformata $D(f)=-2sinc(2f)e^(-j6pif) - 2delta(f)e^(-j8pif)$. A questo punto divido per $j2pif$ e ottengo la trasformata del segnale di partenza.
L'energia del segnale è circa 90.
Per risolvere la trasformata nel terzo intervallino, non c'è bisogno di fare nulla, infatti la trasformata è direttamente $X(f)=2sinc(2f)e^(-j10pif)$
La sua energia è 2.
E' giusto questo esercizio? Se non lo è, cosa ho sbagliato? Come dovrei procedere?
ESERCIZIO 2
Calcolare la cross correlazione tra i due segnali $x(t)=t*rect((t-1/2)/1)$ e $y(t)={1/2} * rect(t/2)$. La cross correlazione è definita in questo modo:
$ R_{xy}(tau)=int_(-oo)^(+oo) x(t)y(t-tau)dt $
Io ho deciso di traslare nel tempo la rect per semplificare i calcoli e quindi per questo ho scelto $y(t)$ come rect. A questo punto devo considerare i vari casi di ritardo possibili e i valori del prodotto tra le due funzioni nei vari casi per poi calcolarne l'integrale. Notiamo che:
-per $tau>2$ la rect è spostata in avanti e non si tocca con il triangolino, quindi correlazione Nulla
-per $tau<-1$ la rect è stata traslata verso sinistra ( asse negativo) e quindi come prima correlazione Nulla
- per $tau=0$ la rect contiene tutto il triangolino e quindi l'area della funzione prodotto è la metà dell'area del triangolino, quindi $1/4$ ( visto che l'ampiezza della rect è $1/2$).
-per $0
Aspetto vostre risposte entro domani mattina. Vi prego, domani ci saranno le correzioni e potrei anche fare l'esame orale, quindi ditemi cosa ho combinato
Risposte
Mi sono reso conto che nell'esercizio numero uno della trasformata di Fourier, nel primo caso, devo derivare due volte la funzione delta di Dirac, quindi otterrò una $delta'(t-2)$ che ha come trasformata di Fourier $j pi f delta(f)e^{-j4pif}$, giusto?
Quindi aggiustando questo errore nel primo caso, tutto il resto mi sembra apposto. Che mi dite?
Quindi aggiustando questo errore nel primo caso, tutto il resto mi sembra apposto. Che mi dite?
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