Trasformata di Fourier di un segnale
Buongiorno a tutti, facendo un esercizio sull'argomento in questione mi è venuto un dubbio.
Faccio alcune premesse: so che la trasformata di Fourier di un certo segnale $x(t)$ è $X(f)=\int_{-\infty}^{+\infty}x(t)e^(-j2\pift)dt$. Inoltre so che se la funzione $x(t)$ è una delta di Dirac $\delta(t)$, allora $X(f)=1$ e che vale la duale; oltre a ciò se la funzione è una delta traslata, ovvero se $x(t)=\delta(t+-t_0)$, allora la trasformata sarà un esponenziale calcolato dove la delta è centrata: anche in questo caso vale la duale, ovvero se $x(t)=e^(j2\pif_0t)$, risulta che $X(f)=\delta(f-f_0)$.
Il mio dubbio è sugli estremi di integrazione. Ovvero, mi chiedo, queste premesse sono valide solo nel caso in cui l'integrale abbia estremi di integrazione $(-\infty,+\infty)$, oppure anche in un intervallo generico?
Per chiarire meglio la mia domanda facciamo un esempio. Prendiamo per ipotesi una certa funzione $x(t)$ così definita:
$x(t)=\{(f(t), a<=t<=b),(0, al trove):}$
Ne segue che possiamo scrivere lo spettro di $x(t)$ in questo modo:
$X(f)=\int_{-\infty}^{+\infty}x(t)e^(-j2\pift)dt = \int_{-\infty}^{a}x(t)e^(-j2\pift)dt+\int_{a}^{b}x(t)e^(-j2\pift)dt+\int_{b}^{+\infty}x(t)e^(-j2\pift)dt$.
Ma il primo e il terzo integrale risultano nulli dalla definizione di $x(t)$, quindi in definitiva:
$X(f)=\int_{a}^{b}f(t)e^(-j2\pift)dt$.
Se ora supponiamo che $f(t)=e^(j2\piKt)$, mi chiedo questo: lo spettro sarà comunque uguale ad una delta di Dirac traslata? Cioè, $X(f)=\delta(f-K)$, oppure no?
Ovviamente la stessa questione vale per altri tipi di $x(t)$ che rientrino nelle premesse che ho fatto sopra.
In sostanza, le suddette premesse valgono indipendentemente dagli estremi di integrazione?
Grazie a tutti!
Faccio alcune premesse: so che la trasformata di Fourier di un certo segnale $x(t)$ è $X(f)=\int_{-\infty}^{+\infty}x(t)e^(-j2\pift)dt$. Inoltre so che se la funzione $x(t)$ è una delta di Dirac $\delta(t)$, allora $X(f)=1$ e che vale la duale; oltre a ciò se la funzione è una delta traslata, ovvero se $x(t)=\delta(t+-t_0)$, allora la trasformata sarà un esponenziale calcolato dove la delta è centrata: anche in questo caso vale la duale, ovvero se $x(t)=e^(j2\pif_0t)$, risulta che $X(f)=\delta(f-f_0)$.
Il mio dubbio è sugli estremi di integrazione. Ovvero, mi chiedo, queste premesse sono valide solo nel caso in cui l'integrale abbia estremi di integrazione $(-\infty,+\infty)$, oppure anche in un intervallo generico?
Per chiarire meglio la mia domanda facciamo un esempio. Prendiamo per ipotesi una certa funzione $x(t)$ così definita:
$x(t)=\{(f(t), a<=t<=b),(0, al trove):}$
Ne segue che possiamo scrivere lo spettro di $x(t)$ in questo modo:
$X(f)=\int_{-\infty}^{+\infty}x(t)e^(-j2\pift)dt = \int_{-\infty}^{a}x(t)e^(-j2\pift)dt+\int_{a}^{b}x(t)e^(-j2\pift)dt+\int_{b}^{+\infty}x(t)e^(-j2\pift)dt$.
Ma il primo e il terzo integrale risultano nulli dalla definizione di $x(t)$, quindi in definitiva:
$X(f)=\int_{a}^{b}f(t)e^(-j2\pift)dt$.
Se ora supponiamo che $f(t)=e^(j2\piKt)$, mi chiedo questo: lo spettro sarà comunque uguale ad una delta di Dirac traslata? Cioè, $X(f)=\delta(f-K)$, oppure no?
Ovviamente la stessa questione vale per altri tipi di $x(t)$ che rientrino nelle premesse che ho fatto sopra.
In sostanza, le suddette premesse valgono indipendentemente dagli estremi di integrazione?
Grazie a tutti!
Risposte
Puoi risponderti da solo calcolando la trasformata esplicitamente, insomma, svolgendo il seguente integerale:
$[f(t)=e^(j2\piKt)] rarr [X(f)=\int_{a}^{b}e^(-j2\pi(f-K)t)dt]$
Più intuitivamente, quel segnale, pur avendo un'unica frequenza nell'intervallo temporale di definizione, non rappresenta un'onda perfettamente monocromatica. Ergo, essendo il segnale confinato nel tempo, la sua trasformata deve contemplare anche frequenze diverse da quella suddetta. Del resto, sono le stesse considerazioni che, in uno studio più elementare delle onde elettromagnetiche, quello svolto in un corso di Fisica II per intenderci, portano all'introduzione della velocità di gruppo.
$[f(t)=e^(j2\piKt)] rarr [X(f)=\int_{a}^{b}e^(-j2\pi(f-K)t)dt]$
Più intuitivamente, quel segnale, pur avendo un'unica frequenza nell'intervallo temporale di definizione, non rappresenta un'onda perfettamente monocromatica. Ergo, essendo il segnale confinato nel tempo, la sua trasformata deve contemplare anche frequenze diverse da quella suddetta. Del resto, sono le stesse considerazioni che, in uno studio più elementare delle onde elettromagnetiche, quello svolto in un corso di Fisica II per intenderci, portano all'introduzione della velocità di gruppo.
Grazie mille speculor! Quindi in sostanza non valgono anche per un intervallo limitato, è corretto?
Corretto. Tengo a ribadire che, al di là del formalismo matematico, per poter annullare il segnale fuori dall'intervallo di definizione, è necessario sovrapporre onde perfettamente monocromatiche le cui frequenze appartengono ad un intervallo continuo più o meno esteso. Come certamente saprai, l'ampiezza di questo intervallo è tanto più piccola quanto più il segnale si estende temporalmente, avvicinandosi quest'ultimo sempre di più ad un'onda perfettamente monocromatica. Ovviamente, le ampiezze e le fasi di queste onde devono essere determinate analiticamente, mediante la trasformata per l'appunto. Ma la loro determinazione esplicita è importante più per gli sviluppi tecnologici di quello che si sta studiando. Voglio dire, il concetto di base rimane relativamente semplice, a prescindere dalla loro determinazione esplicita.
Ti ringrazio, sei stato più che esaustivo!
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