Trasformata di Fourier della sequenza costante.

[TitusI]

Ho notato di non aver compreso bene i meccanismi alla base della serie di Fourier, cosi' procedendo all'indietro ho cercato di capire dove era l'inghippo
e ho scoperto che e' proprio all'inizio.

consideriamo la sequenza costante:

$x(n)=\hat delta(n)=\sum_{k=-infty}^\infty\delta(n-k)$ (ci andrebbe una tilde sulla delta, ma non so come ottenere l'effetto...perdonatemi ma devo studiare...poi imparo meglio comunque e' fantastiso sto MathML )

$X_N(\nu)=\sum_{k=-N}^N e^(-j2\pi\nu\n)=frac{sin[(2N+1)\pi\nu]}{sin(\pi\nu)}$

gia' questo passaggio non mi e' affatto chiaro,concordo sul fatto che la trasformata di quel treno di $delta$ sia una somma di esponenziali,ma io in quella sommatoria "vedo" 1 + una sommatoria da 0 a N di coseni, non capisco da dove esca fuori

$frac{sin[(2N+1)\pi\nu]}{sin(\pi\nu)}$

per ora sarei grato se qualcuno potesse chiarirmi questo passaggio, io intanto continuo a studiare, e so gia' dove sono i miei prossimi intoppi, magari questa ocnversazione tornera' utile anche ad altri.

Grazie in anticipo

[K.Lomax]

$\sum_(n=-N)^Ne^(-j2\pi\nun)=\sum_(n=-N)^(-1)e^(-j2\pi\nun)+\sum_(n=0)^Ne^(-j2\pi\nun)=-1+\sum_(n=-N)^(0)e^(-j2\pi\nun)+\sum_(n=0)^Ne^(-j2\pi\nun)=-1+\sum_(n=0)^Ne^(j2\pi\nun)+\sum_(n=0)^Ne^(-j2\pi\nun)=$

da cui, utilizzando la seguente sommatoria notevole:

$\sum_(k=0)^(N)q^k=(1-q^(N+1))/(1-q)$

si ha:

$=-1+(1-e^(j2\pi\nu(N+1)))/(1-e^(j2\pi\nu))+(1-e^(-j2\pi\nu(N+1)))/(1-e^(-j2\pi\nu))=$

$=-1+e^(j\pi\nuN)(e^(-j\pi\nu(N+1))-e^(j\pi\nu(N+1)))/(e^(-j\pi\nu)-e^(j\pi\nu))+e^(-j\pi\nuN)(e^(j\pi\nu(N+1))-e^(-j\pi\nu(N+1)))/(e^(j\pi\nu)-e^(-j\pi\nu))=-1+e^(j\pi\nuN)sin(\pi\nu(N+1))/sin(\pi\nu)+e^(-j\pi\nuN)sin(\pi\nu(N+1))/sin(\pi\nu)=-1+sin(\pi\nu(N+1))/sin(\pi\nu)(e^(j\pi\nuN)+e^(-j\pi\nuN))$

$=(2sin(\pi\nu(N+1))cos(\pi\nuN)-sin(\pi\nu))/sin(\pi\nu)=$

Utilizzo le formule di Werner e ottengo:

$=(sin(\pi\nu(2N+1))+sin(\pi\nu)-sin(\pi\nu))/sin(\pi\nu)=sin(\pi\nu(2N+1))/sin(\pi\nu)$

Se qualche passaggio non ti è chiaro chiedi pure.

[TitusI]

Tutto chiarissimo, anche se sul Conte poteva scriverlo qualche passaggio intermedio fra le due formule , e sopratutto non ha nemmeno scritto "mediante semplice passaggi" chiaro indizio per lo studente che l'autore ha voglia di fare lo spiritoso

comunque supponi |q|<1 ma il nostro q e' un fasore (|q| = 1) o mi sfugge qualcosa?

[K.Lomax]

Quella sommatoria è finita quindi non hai bisogno di supporre $|q|<1$. Se, invece, si fosse estesa all'infinito, al fine di assicurare la convergenza, avresti dovuto avere necessariamente $|q|<1$ (vedi criteri di convergenza per le serie numeriche). Scusa l'imprecisione.

Ciao