Trasf. lineare su convoluzione di seq. bilatera con $delta$

[Lorra1]

Credo che la sezione sia giusta.

Ora se $T$ è una trasformazione (univoca) lineare $T :$ sequenza reale (complessa) -> sequenza reale (complessa) e la convoluzione di due sequenze $x$ e $y$ a valori reali (complessi) bilatere è definita come $x conv. y = sum_(k = -oo)^oo x(k) y(n-k)$ e $delta(k) = 1$ se $k = 0$ , $delta(k) = 0$ se $k != 0$ è vero che $T[x conv. delta] (k)= T[sum_(k = -oo)^oo x(k) delta(n-k)] = sum_(k = -oo)^oo x(k) T[delta(n-k)]?
$T$ viene detta lineare nella cosa che sto leggendo se $T[alphax+betay] = alphaT[x] + betaT[y]$ $x,y$ sequenze reali (complesse) $alpha,beta in C$.
La definizione parla di somma finita, non mi convince l'estensione alla somma infinita, è legittima? Perché?

[gugo82]

Scusami Lorra, ma non riesco ad afferrare il senso di questa uguaglianza:

"Lorra":$T[x**delta] (k)= T[sum_(k = -oo)^oo x(k)\ delta(n-k)] = sum_(k = -oo)^oo x(k)\ T[delta(n-k)]

Voglio dire: chi è [tex]$T[\delta (n-k)]$[/tex]?
Se non interpreto male dovrebbe essere un elemento di [tex]$\ell^1$[/tex] e non uno scalare, altrimenti quell'uguaglianza non avrebbe senso (avresti una successione -[tex]$T[x*\delta]$[/tex]- da un lato ed uno scalare -[tex]$\sum_{k = -\infty}^{+\infty} x(k)\ T[\delta (n-k)]$[/tex]- dall'altro!)...

Praticamente stai dicendo che il valore di [tex]$Tx$[/tex] è determinato dai valori assunti da [tex]$T$[/tex] su una determinata successione di elementi di [tex]$\ell^1$[/tex] (ovvero i traslati di [tex]$\delta$[/tex])...
Il che non è strano, visto che gli elementi di [tex]$\ell^1$[/tex] che si ottegono traslando [tex]$\delta$[/tex] sono "quelli buoni" per costruire lo spazio [tex]$\ell^1$[/tex], ossia quelli nella forma:

[tex]$\text{e}^m=(\delta_n^m)$[/tex]

(qui e nel seguito [tex]$\delta_n^m$[/tex] è il simbolo di Kronecker, sicché [tex]$\delta_n^m =1$[/tex] se [tex]$n=m$[/tex] e [tex]$=0$[/tex] se [tex]$n\neq m$[/tex]); seguendo la tua notazione, si ha [tex]$\text{e}^m=\delta (m-n)$[/tex].
Infatti per ogni fissato [tex]$x\in \ell^1$[/tex] riesce:

[tex]$x=\sum_{n=-\infty}^{+\infty} x_n\ \text{e}^n$[/tex]

nel senso di [tex]$\ell^1$[/tex], ossia:

[tex]$\lim_{M,m\to +\infty} \left\lVert x-\sum_{n=-m}^Mx_n\ \text{e}^n \right\rVert_1=0$[/tex].

Ad ogni buon conto, sei sicuro che oltre alla linearità dell'operatore [tex]$T$[/tex] non si assuma anche la continuità o, ciò che è lo stesso, la limitatezza?

Chiariamo un po' il setting (non sembri molto familiare con gli spazi di successioni; hai studiato un po' di Analisi Funzionale? Sarebbe d'aiuto...).

Lo spazio [tex]$\ell^1$[/tex]:
Lo spazio di successioni bilatere:

[tex]$\ell^1 (\mathbb{Z}) :=\left\{ x=(x_n)_{n\in \mathbb{Z}} \subseteq \mathbb{C}:\ \sum_{n=-\infty}^{+\infty} |x_n|<+\infty \right\}$[/tex]

è uno spazio vettoriale con la somma ed il prodotto per lo scalare definite "componente per componente"; nel seguito, per sintesi, denoteremo [tex]$\ell^1 (\mathbb{Z})$[/tex] semplicemente con [tex]$\ell^1$[/tex].

Lo spazio [tex]$\ell^1$[/tex] è normabile con la "norma naturale":

[tex]$\lVert x\rVert_1 :=\sum_{n=-\infty}^{+\infty} |x_n|$[/tex];

lo spazio vettoriale normato [tex]$(\ell^1 ,\lVert \cdot \rVert_1)$[/tex] è completo rispetto alla metrica indotta (dalla distanza indotta) dalla norma, quindi è uno spazio di Banach.
Tale spazio di Banach è separabile e la classe:

[tex]$c_{00}:=\left\{ x=(x_n)_{n\in \mathbb{Z}}\subseteq \mathbb{C}:\ \exists \nu,\mu \in \mathbb{N}: \forall n\leq \nu \text{ o } n<-\mu,\ x_n=0 \right\} =\text{span} \{ \text{e}^m\}_{m\in \mathbb{Z}}$[/tex]

è un sottospazio vettoriale tale che [tex]$\overline{c_{00}}^{\lVert\cdot \rVert_1} =\ell^1$[/tex] (ciò vuol dire che la chiusura del sottospazio [tex]$c_{00}$[/tex] fatta rispetto alla topologia indotta dalla norma è tutto [tex]$\ell^1$[/tex]): in altre parole, ogni elemento [tex]$x\in \ell^1$[/tex] si può approssimare in [tex]$\lVert \cdot \rVert_1$[/tex] con una successione [tex]$(x^m) \subseteq c_{00}$[/tex].
In particolare, fissato [tex]$x=(x_n)\in \ell^1$[/tex], la successione (di successioni) [tex]$(x^m)\subseteq \ell^1$[/tex] il cui termine generale [tex]$x^m=(x_n^m) \in \ell^1$[/tex] è definito ponendo:

[tex]$x_n^m=\begin{cases} x_n &\text{, se $|n|\leq m$}\\ 0 &\text{, se $|n|>m$} \end{cases}$[/tex]

è tale che [tex]$x^m \in c_{00}$[/tex] e [tex]$\lim_m \lVert x-x^m\rVert_1 =0$[/tex], sicché [tex]$(x^m)$[/tex] approssima [tex]$x$[/tex] in norma.

Operatori:
Un'applicazione [tex]$T:\ell^1 \to \ell^1$[/tex] viene detta operatore di [tex]$\ell^1$[/tex] in sé.
Un operatore [tex]$T$[/tex] di [tex]$\ell^1$[/tex] in sé è lineare se esso è un endomorfismo dello spazio vettoriale [tex]$\ell^1$[/tex]; ciò significa che per [tex]$x,y\in \ell^1$[/tex] e [tex]$\alpha, \beta \in \mathbb{C}$[/tex] si ha [tex]$T(\alpha\ x+\beta\ y)=\alpha\ Tx+\beta\ Ty$[/tex] (la notazione [tex]$Tx$[/tex] al posto di [tex]$T(x)$[/tex] è usuale per gli operatori lineari).
Un operatore lineare [tex]$T$[/tex] di [tex]$\ell^1$[/tex] in sé si dice limitato se esiste una costante [tex]$C\geq 0$[/tex] tale che [tex]$\lVert Tx\rVert_1 \leq C\ \lVert x\rVert_1$[/tex] per ogni [tex]$x\in \ell^1$[/tex].
Si dimostra che un operatore lineare è continuo (rispetto alla topologia indotta dalla norma) se e solo se esso è limitato.

Convoluzione:
Presie [tex]$x,y\in \ell^1$[/tex], la successione [tex]$z=(z_n)$[/tex] definita ponendo:

[tex]$z_n:=\sum_{k=-\infty}^{+\infty} x_k\ y_{n-k}$[/tex]

si chiama convoluzione di [tex]$x$[/tex] ed [tex]$y$[/tex] e si denota col simbolo [tex]$x*y$[/tex].
Per la disuguaglianza di Hölder con esponenti [tex]$1,\infty$[/tex] ogni [tex]$z_n$[/tex] è finito, cosicché [tex]$x*y$[/tex] è ben definita come sucessione; però si dimostra pure che [tex]$\lVert x*y\rVert_1\leq \lVert x\rVert_1\ \lVert y\rVert_1 <+\infty$[/tex] (questa è praticamente la disuguaglianza di Young), sicché [tex]$x*y\in \ell^1$[/tex] quindi la convoluzione è un'operazione interna definita in [tex]$\ell^1$[/tex].
L'operazione di convoluzione [tex]$*$[/tex] è commutativa, come si evince con un semplice cambiamento di indici nella precedente sommatoria.

Presi [tex]$x=(x_n)$[/tex] e [tex]$\delta=(\delta_n^0)=\text{e}^0$[/tex], la convoluzione [tex]$z=x*\delta =\delta *x$[/tex] ha per "coordinate":

[tex]$z_n=\sum_{k=-\infty}^{+\infty} \delta_k^0\ x_{n-k} = x_n$[/tex]

quindi [tex]$x*\delta =x=\delta*x$[/tex], sicché [tex]$\delta$[/tex] è un elemento neutro di [tex]$\ell^1$[/tex] rispetto a [tex]$*$[/tex].

Ad ogni modo, la questione ha molti più risvolti analitici che algebrici.


P.S.: In MathML l'asterisco per la convoluzione si fa con \$**\$ (che produce $**$).
P.P.S.: Che libro stai leggendo? Se fosse qualcosa che ho sotto mano, potrei esserti più d'aiuto...

[Lorra1]

No, dispongo solo di uno scientifico P.N.I. con buoni voti di mat. e fisica (9) e 2 esami e mezzo di matematica (mat. I (10cfu), mat. II (9cfu) e mat. III (10cfu) (metà (5cfu)perché l'altra metà era meccanica razionale, quindi si trattava un po' di altro)).
C'è un errore in quello che ho scritto: a primo membro c'è $T[x**delta](n)$ non $T[x**delta](k)$. Tutto quello che so di analisi funzionale è quello che riesco a immaginare dalle relazioni che vedo quando mi sembrano vere (tipo trasf. di Fourier (per funzioni di var. reale)) pensando a qualche estensione del tutto particolare del caso di applicazioni lineari fra spazi vettoriali di dimensione finita.
Il "libro" sono le dispense di elaborazione numerica dei segnali che sono un riassunto di un testo famoso, l'Oppenheim / Schafer di cui esiste una traduzione italiana pubblicata da Franco Angeli. Il titolo è "Elaborazione numerica dei segnali", io leggo la decima edizione che penso sia identica a una qualsiasi degli anni '90, ce n'è anche una molto vecchia che però mi sembra sia diversa. Le dispense sono di uno dei due traduttori: C.B., non credo che siano in rete però.

[gugo82]

Ah, sei ingegnere informatico tipo?
Comunque dell'Oppenheim/Schafer ho sotto mano una seconda edizione americana di Discrete-time signal processing, ma non trovo la relazione che citi.
Non è che le dispense sono online?

Ad ogni modo, la cosa relazione è vera se l'operatore [tex]$T$[/tex] è continuo.
Infatti, si ha:

[tex]$T(x*\delta)=Tx$[/tex] (perchè [tex]$x*\delta =x$[/tex])
[tex]$=T\left( \lim_m \sum_{n=-m}^mx_n\ \text{e}^n\right)$[/tex] (perchè [tex]$x=\lim_m \sum_{n=-m}^m x_n\ \text{e}^n$[/tex])
[tex]$=\lim_m T\left( \sum_{n=-m}^m x_n\ \text{e}^n\right)$[/tex] (perchè [tex]$T$[/tex] è continuo)
[tex]$=\lim_m \sum_{n=-m}^m x_n\ T\text{e}^n$[/tex] (perchè [tex]$T$[/tex] è lineare)
[tex]$=\sum_{n=-\infty}^{+\infty} x_n\ T\text{e}^n$[/tex] (perchè [tex]$T$[/tex] è limitato: infatti [tex]$\sum_{n=-m}^m |x_n|\ \lVert T\text{e}^n \rVert_1 \leq \sum_{n=-m}^m |x_1|\ C\ \lVert \text{e}^n\rVert_1 \leq C\ \lVert x\rVert_1$[/tex], sicché la serie converge in norma)

che scritto nel tuo formalismo diventa:

[tex]$T(x*\delta) (n)=\sum_{k=-\infty}^{+\infty} x(k)\ T[\delta (n-k)]$[/tex]

e perciò è quello che volevi.

[Lorra1]

Non ancora, neanche ingegnere triennale, ho finito il terzo anno quest'anno e non mi sono ancora laureato, ma non sono fuori corso! (Non mi sono laureato a luglio (quella sì che sarebbe stata vita!), ma secondo le parole della manager didattica "è normale laurearsi a dicembre" ...).
Purtroppo le dispense non sono online.
Direi che ho abbastanza su cui pensare per il momento, grazie molte! E' interessante, spero di riuscire a trasportare quello che dici nell'interpretazione delle materie tecniche dove si parla di "sistemi lineari", ma con tutte le questioni di realizzabilità fisica, causalità e convenzioni annesse.

[Lorra1]

Non si assume la continuità o la limitatezza, quello che leggo è un testo ingegneristico e non ne parla neppure. Dice (ed è qui che non capivo proprio) che la relazione fonte di questa discussione è valida solo per la linearità. Ora stavo cercando di capire come diavolo si può fare su un oggetto fisico a dire che realizza una $T$ che è continua. $T$ lineare si capisce, ma $T$ continua??

[Lorra1]

Bah...

[Lorra1]

Intendo come si fa a dire che un oggetto si comporta associando sequenze secondo una $T$ che è continua e quindi a darlo sempre per scontato (e non parlarne neanche forse secondo un uso tipico degli ingegneri)?

[_luca.barletta]

Sicuro che il testo non parli nemmeno di BIBO-stabilità?

[Lorra1]

Dice cos'è la stabilità BIBO, ma la introduce dopo aver parlato di questa relazione e non ne parla quando dice che $T$ è completamente specificata da $T[delta(n-k)]$ , $-oo $h(n)$ è la sequenza dei trasformati degli impulsi unitari centrati in $n$.

[Lorra1]

È possibile comunque sapere cosa hai da dire sulla stabilità BIBO?

[Lorra1]

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