Transitori del secondo ordine

[stefu1989]

superati i problemi che avevo con i transitori del primo ordine, ora mi trovo in trovo in difficoltà con quelli del secondo ordine.

come faccio per trovare le equazioni differenziali? è corretto usare il principio di sovrapposizione degli effetti?

questo esercizio per esempio non mi viene:
http://img31.imageshack.us/img31/9622/img010k.jpg

ho posto $t<0$ e ho fatto l'analisi in continua trovando $Vc(0)=(Vg2(=6 V$
per $t>0$, dopo aver sostituito il condensatore con un generatore di tensione e l'induttore con un generatore di corrente ho applicato il principio di sovrapposizione degli effetti per trovare Ic e Vl.
azzerando tutti i generatori tranne Vg1 ottengo $(Ic)=3 A$; $(Vl)=6 V$
azzerando tutti i generatori tranne Il ottengo $(Ic)=(Il)/3 A$; $(Vl)=(2Il)/3 V$
azzerando tutti i generatori tranne Vc ottengo $(Ic)=2 A$; $(Vl)=-2 V$
azzerando tutti i generatori tranne Vg2 ottengo $(Ic)=(Vc)/3 A$; $(Vl)=(5/3)*Vc V$

quindi le equazioni sono:
$C*(dVc(t))/dt= 5 + 1/3*(Il)+(Vc)/3$
$L*(dIl(t))/dt=4+2/3*(Il)+5/3*(Vc)$

con le quali però non ottengo il risultato corretto.

forse sbaglio nel principio di sovrapposizione degli effetti a mettere i segni delle correnti. Come faccio a vedere se una corrente è positiva o negativa?

[Ska1]

devi riportarti ad un'unica equazione differenziale che sarà del secondo ordine... quindi devi riuscire a esprimere ad esempio $i_L$ solo in funzione di $v_C$ e/o $v'_C$

[stefu1989]

si infatti. falle due equazioni che ho scritto ricavo poi una equazione unica espressa in funzione di Vc.

solo che seguendo il procedimento che ho seguito in quell'esercizio, non mi vengono i risultati corretti. volevo sapere se il procedimento è corretto

[Ska1]

Non mi tornano le tue equazioni....

allora... io l'ho impostato così... facendo la maglia esterna... $9- (i_L+C*v'_C)*R1 + 6 - v_C - C*v'_C*R3 = 0$ da cui mi ricavo $i_L = (15- C*(R1+R3)*v'_C -v_C)/(R1)$ sostituendo i numeri risulta $i_L = 15 - 3 v'_C - v_C$

prendendo la maglia di sinistra si ha $9 - (i_L+ C*v'_C)*R1 - L*i'_L = 0$ sostituendo si ha $9 - ((15 - 3*v'_C - v_C) + v'_C) - 0.5*(-3v''_C - v'_C) = 0$ da cui
$3/2v''_C + 5/2 v'_C +v_C = 6$

risolvendo il polinomio caratteristico si ottengono gli autovalori del sistema $-1$ e $-2/3$, da cui poi si scrive la soluzione come $v_C(t) = c1*e^{-t} + c2*e^{-2/3 t} + v_p(t)$

$v_p(t) = A$ da cui $A = 6$ quindi la soluzione è $v_C(t) = c1*e^{-t} + c2*e^{-2/3 t} + 6$

ora vediamo come determinare la condizione iniziale, guardando il circuito per $t<0$ quindi con l'interruttore aperto, dato che si trova a regime, siamo in continua, quindi... l'induttore è un corto-circuito, il condensatore un circuito aperto, dunque la tensione ai capi del condensatore è pari a quella di $Vg2=6$ dato che sono orientati in verso opposto.

Quindi $v_C(0) = 6$... dobbiamo calcolarci anche la condizione iniziale sull'induttore per poter determinare $v'_C(0)$, sempre guardando il circuito la corrente che scorre nell'induttore è tutta quella proveniente dalla maglia di sinistra quind $i_L(0) = 9 / (R1+R2=3) = 3$ quindi dato che $v'_C(0) = 5 - (i_L(0))/3 - (v_C(0)) /3 = 5 - 1 -2 = 2$

quindi imponendo queste si ottiene

$c1+c2 = 0 $ e $-c1 - 2/3 c2 = 2$ da cui si ottiene $c1=-6$ e $c2=6$

[Giupeppe9]

Ma la corrente che attraversa R1 è data dalla somma di iL (corrente dell'induttore) e iC (corrente del condensatore)? E perchè, nel momento in cui si chiude l'interruttore, non si considera più R2? Non riesco a capire

[Blackorgasm]

[OT]

@Giuseppe9: quando chiudi l'interruttore hai un corto circuito in parallelo ad una resistenza $=>$ tutta la corrente passa dal corto circuito, quindi la resistenza è come se non ci fosse.

[/OT]

[Giupeppe9]

Ah...ok grazie! mi puoi levare un altro dubbio? xD A quanto pare sei l'unico che può darmi una mano.... Nell'esempio di prima (per t<0) si trova che vc(0)=6 . Ma non capisco perchè! Scusa, come hai detto tu, devo sostituire il condensatore con un generatore di tensione....quindi applicando la LKT alla maglia di destra viene: Vg2+Vc(0)+R3*(iL(0))=0 ovvero Vc(0)=-R3*(iL(0))-Vg2=-2*3-6=-12....in cosa sbaglio? Per due generatori di tensione in serie non si dovrebbe fare la somma delle tensioni? Perchè dice che Vg2=Vc???