Traformata di Laplace
Buongiorno ragà ho un piccolo problema trovo difficoltà a fare esercizi del tipo seguente che vi illusterò ora:
Un sistema lineare e stazionario a tempo continuo, supposto in quiete, e retto dalla seguente equazione differenziale
y¨ (t) + 2 y˙ (t) + 2 y(t) = 2 u(t) determinare la risposta all’ingresso u(t) = 1(−t)
oppure
la risposta all’ingresso u(t) = sin(2t) 1(−t) + 1(t)
gli altri esercizi li ho fatti tutti e mi escono immagino che il mio problema sia quel (-t) come trattarlo, cioè come è la traformata di laplace dei 2 segnali u(t) = 1(−t), u(t) = sin(2t) 1(−t) + 1(t) ?
Un sistema lineare e stazionario a tempo continuo, supposto in quiete, e retto dalla seguente equazione differenziale
y¨ (t) + 2 y˙ (t) + 2 y(t) = 2 u(t) determinare la risposta all’ingresso u(t) = 1(−t)
oppure
la risposta all’ingresso u(t) = sin(2t) 1(−t) + 1(t)
gli altri esercizi li ho fatti tutti e mi escono immagino che il mio problema sia quel (-t) come trattarlo, cioè come è la traformata di laplace dei 2 segnali u(t) = 1(−t), u(t) = sin(2t) 1(−t) + 1(t) ?
Risposte
bah... o è un errore di stampa oppure per definizione di gradino $1(t) = 0$ per $t<0$
"cyd":
bah... o è un errore di stampa oppure per definizione di gradino $1(t) = 0$ per $t<0$
non è un errore di stampa ha messo anche il risultato l'ha fatta apposta..... non si capisce.. dove.. si sia imparato sta cosa visto che non si trova in nessun posto ..
certo che non lo sa nessuno vedo ..
$1(-t)$ è il gradino ribaltato rispetto all'asse $y$, quindi vale $1$ per $t<0$ e $0$ per $t>0$. Ci ho pensato un pò, giungendo a questo: il sistema è lineare e tempo-invariante, quindi l'uscita non dipende dai valori passati, ergo te ne puoi fregare ampiamente di ciò che succede per $t<0$. Piuttosto, suppongo che vada utilizzato per determinare le condizioni iniziali del sistema, senza le quali non puoi determinare la risposta in modo completo se non a meno di costanti arbitrarie. Prova a ragionare: quanto valgono ste condizioni iniziali (ovvero: $y(0)$, $y'(0)$, $y''(0)$) nei due casi?
e quale sarebbe il risultato?
"elgiovo":
$1(-t)$ è il gradino ribaltato rispetto all'asse $y$, quindi vale $1$ per $t<0$ e $0$ per $t>0$. Ci ho pensato un pò, giungendo a questo: il sistema è lineare e tempo-invariante, quindi l'uscita non dipende dai valori passati, ergo te ne puoi fregare ampiamente di ciò che succede per $t<0$. Piuttosto, suppongo che vada utilizzato per determinare le condizioni iniziali del sistema, senza le quali non puoi determinare la risposta in modo completo se non a meno di costanti arbitrarie. Prova a ragionare: quanto valgono ste condizioni iniziali (ovvero: $y(0)$, $y'(0)$, $y''(0)$) nei due casi?
In entrambi il sistema è in quiete comunque vi do il risultato del primo se sapete farlo .. postatelo .. che vorrei capire..
Risposta : $y(t) =1 per t < 0
$e^(−t) cos(t) per t > 0$
No no fattelo tu. Visti i risultati sono convinto che la mia interpretazione sia corretta.
"elgiovo":
No no fattelo tu. Visti i risultati sono convinto che la mia interpretazione sia corretta.
elgiovo ti ringrazio dell'impegno che ci stai mettendo avevo capito pure io che il gradino è ribaltato però non lo so fare non mi riesce.. in soldoni come lo considero il gradino quando vado a fare la risposta forzata??? cioè chi è U(s)??
La forzante è $u(t)=0$ nel primo caso e $u(t)=1(t)$ nel secondo. Procedi esattamente come sai, solo devi cambiare le condizioni al contorno. Infatti non è più vero che $y(0)=y'(0)=y''(0)=0$ come sei abituato, ma te le devi calcolare conoscendo $u(t)$ per $t<0$ e sfruttando il fatto che il sistema era a regime.
"elgiovo":
La forzante è $u(t)=0$ nel primo caso e $u(t)=1(t)$ nel secondo. Procedi esattamente come sai, solo devi cambiare le condizioni al contorno. Infatti non è più vero che $y(0)=y'(0)=y''(0)=0$ come sei abituato, ma te le devi calcolare conoscendo $u(t)$ per $t<0$ e sfruttando il fatto che il sistema era a regime.
va bene domattina lo farò grazie elgiovo
"Enrico97":
[quote="elgiovo"]La forzante è $u(t)=0$ nel primo caso e $u(t)=1(t)$ nel secondo. Procedi esattamente come sai, solo devi cambiare le condizioni al contorno. Infatti non è più vero che $y(0)=y'(0)=y''(0)=0$ come sei abituato, ma te le devi calcolare conoscendo $u(t)$ per $t<0$ e sfruttando il fatto che il sistema era a regime.
va bene domattina lo farò grazie elgiovo[/quote]
scusami algiovo non ho mai visto la tipologia di esercizio del genere se non con ingressi non traslati mo stavo tentando a farlo ma non mi è chiaro come calcolo le condizioni iniziali? Magari calcolando prima la risposta al gradino normalmente?? Oppure sfrutto qualche teorema magari quello del valore iniziale? grazie.. e scusami
allora,
è un sistema dinamico, quindi in genere l'uscita dipende da tutta la storia passata.
Però la trasformata di laplace è biunivoca solo per segnali che per $t<0$ sono nulli.
Allora entrano in gioco le condizioni iniziali.
in questo caso il tuo segnale è stato =1 fino a t=0 poi è diventato nullo.
Poichè in $t=0$ haiuna discontinuità le condizioni iniziali vanno interpretate in $t=0^-$
dunque devi prima di tutto determinare queste condizioni iniziali
poi risolvi come se fosse un sistema con una condizione iniziale non nulla e ingresso nullo poichè per t>0 u(-t) è nullo
è un sistema dinamico, quindi in genere l'uscita dipende da tutta la storia passata.
Però la trasformata di laplace è biunivoca solo per segnali che per $t<0$ sono nulli.
Allora entrano in gioco le condizioni iniziali.
in questo caso il tuo segnale è stato =1 fino a t=0 poi è diventato nullo.
Poichè in $t=0$ haiuna discontinuità le condizioni iniziali vanno interpretate in $t=0^-$
dunque devi prima di tutto determinare queste condizioni iniziali
poi risolvi come se fosse un sistema con una condizione iniziale non nulla e ingresso nullo poichè per t>0 u(-t) è nullo
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