[Termodinamica] Risoluzione matematica di un esercizio

[Trivroach]

"Di una miscela non ideale che forma due fasi liquide sono noti gli estremi di lacuna:

$ x_1'=0.1 $
$ x_2'=0.9 $
$ x_1''=0.8 $
$ x_2''=0.2 $

Supponendo valide le equazioni di Van Laar, determinare i coefficienti $ A_12 $ e $ A_21 $ ."

Per la lacuna di miscibilità si può scrivere il seguente sistema di due equazioni:

$ x_1'*gamma_1(x_1' )=x_1''*gamma_1(x_1'');x_2'*gamma_2(x_2' )=x_2''*gamma_2(x_2'') $

sapendo che

$ loggamma_1=A_12*((A_21x_2)/(A_12x_1+A_21x_2))^2 $

$ loggamma_2=A_21*((A_12x_1)/(A_12x_1+A_21x_2))^2 $

dove chiaramente $ x_1 $ e $ x_2 $ si calcolano una volta con gli estremi $ ' $ e una volta $ '' $ .

Qualcuno ha un'idea su come risolvere questo problema?

Ho pensato di procedere per tentativi supponendo due coefficienti di Van Laar $ A_12 $ e $ A_21 $, entrare con questi nella formula dei coefficienti di attività $ gamma_1 $ e $ gamma_2 $ e infine sostituire i valori trovati nel sistema di equazioni.
Ma tra i coefficienti di Van Laar non sussiste alcuna relazione quindi farei proprio un salto nel buio, cioè vuol dire scegliere due numeri completamente a caso.

Qualcuno saprebbe aiutarmi? Grazie mille!

[mdonatie]

Per la risoluzione del sistema potresti adeguarlo al modello simmetrico...

Per questo tipo di sistema sapresti che alla temperatura critica di incipiente smescolamento il coefficiente di attività, sarebbe: $A=2$.
Oltretutto nel caso in cui $(dA)/(dT)<0$ la concavità sarebbe rivolta verso il basso e il coefficiente di attività tenderebbe a diminuire all'aumentare della temperatura e viceversa.

I casi più frequenti sono quelli per cui il sistema risulti a mescolamento endotermico, quindi per il quale $(dA)/(dT)<0$
Quindi potresti definire come valore di primo tentativo per i coefficienti di attività un valore maggiore di 2.

Abbandonando l'ipotesi di simmetria e definendo la condizione di isoattività (identifico con "a" e "b" le fasi liquide e con 1 e 2 i componenti in miscela):
${(x_1^a \gamma_1^a=x_1^b \gamma_1^b),(x_2^a \gamma_2^a=x_2^b \gamma_2^b):}$

Poi potresti utilizzare ad esempio il metodo di Newton per la risoluzione del sistema.
Quindi potresti definire due funzioni obiettivo:
$phi_1=x_1^a \gamma_1^a-x_1^b \gamma_1^b$
$phi_2=x_2^a \gamma_2^a-x_2^b \gamma_2^b$
e linearizzare il sistema con queste due funzioni nell'intorno con i valori di primo tentativo che hai scelto ad esempio $ X = [(A_(12)^I=2.2),(A_(21)^I=2.3)]$

Poiché ho un programma sulla calcolatrice, ti do un valore di risoluzione, così volendo puoi confrontare qualche dato.
$A_(12)=2.81$ e $A_(21)=2.2$ con una tolleranza di $10^(-5)$.