[Teoria dei sistemi] Trasformata di Laplace e semipiano di convergenza

[Bianchetto05]

Buongiorno, chiedo scusa se la sezione è errata ma l'argomento l'ho trovato in questa materia quindi se la sezione è errata, spostate tranquillamente.

Detto ciò partiamo con la richiesta. Ho un dubbio su una caratteristica della trasformata di Laplace. Per definizione sappiamo che l'integrale di Laplace converge se è verificata la seguente condizione:

$Re(s)>a_0$

quindi io a "destra" della mia ascissa di convergenza ho il mio semipiano di convergenza.
Nel caso però di una funziona tipo:

$F(s)=1/(s+a)$

ho che:

$s=-a$

ed essendo la funzione di partenza con segno negativo:

$x(t)=-e^{-at}$

posso affermare che il semipiano di convergenza è dato da:

$Re{s}<-a$

che è a "sinistra" della mia ascissa di convergenza.
Come mai ho questo comportamento? La parte reale di $s$ non doveva essere sempre maggiore di $a$? E' corretto scegliere il verso della disequazione in base al segno della funzione di partenza?

Immagino che queste cose servano pertrovare i poli di un sistema quindi prima le chiarisco, prima posso procedere oltre...
Vi ringrazio per l'aiuto.

[Quinzio]

Scusami se te lo dico, ma noto un certo grado di confusione.
Non c'e' nulla di grave in questo, sia chiaro.

Ad esempio, in che senso dici che $s = -a$ ?
$-a $ e' il polo della funzione che hai scritto, siamo d'accordo, ma questo non centra nulla col fatto che la variabile $s$ debba essere al valore $-a$.
La variabile $s$ e' una variabile complessa, quella della trasformata, ma non ha un valore particolare.

Inoltre, se prendiamo l'integrale $\int_0^{infty} e^{-st} dt$, ti e' chiaro il motivo per cui l'integrale converge solo se $Re{s} > 0$ ?
A me sembra di intuire che non ti e' molto chiaro, magari mi sbaglio...