[Teoria dei sistemi] Risposta impulsiva

[Marc93bkl]

Salve amici, ho bisogno di un aiutino riguardo una tipologia di esercizi, fra alcuni giorni avrò l'esame. Volevo capire come determinare la risposta all'impulso di un sistema attraverso una rappresentazione di stato nel dominio del tempo A,B,C,D e Y=CX+DU. Se ho un sistema proprio (D=1), del tipo $ G(s)=(s^2 + 9s +10)/(s^2 +3s+2) $ quale sarà la risposta all'impulso del sistema nel dominio del tempo? Scomponendolo in fratti semplici ottengo $ G(s)= 2/(s+1) + 4/(s+2) + 1 $, dove i primi due blocchi sono Relaxation e si avrebbe una risposta $ Y=2*(e^-t)+ 4*(e^-2t) $, credo ci sia anche un delta di Dirac dato D=1? Grazie in anticipo

[nasmil]

Sì perché devi antitrasformare anche 1

[Marc93bkl]

Grazie Nasmil! L'antitrasformata della costante è la stessa moltiplicata per un impulso di Dirac, quale sarebbe quindi la risposta impulsiva dell'intero sistema in questo caso?

[nasmil]

La risposta impulsiva la trovi applicando Laplace come hai fatto:
il tuo ingresso era l'impulso centrato in 0, la trasformata dell'impulso centrato in 0 di ampiezza unitaria è proprio 1 perciò hai moltiplicato la funzione di trasferimento per 1, antitrasformando hai ottenuto la risposta impulsiva nel dominio del tempo.

[Marc93bkl]

Ok, grazie! Io ho applicato direttamente la relazione residuo-polo dato i blocchi relaxation ma volevo capire proprio il concetto di impulso di Dirac e della sua trasformata in questa tipologia di sistema. Quindi mi sembra di capire che il valore di D in rappresentazione mi da l'ampiezza dell'impulso centrato in 0 (in questo caso), ma numericamente la trasformata come si ottiene per D diverso da zero (supponiamo lo stesso sistema con D=2)? E se inoltre volessi determinare la risposta del sistema all'ingresso $ u(t)=sin(10t) $ (considerando lo stesso caso di sistema con D=1)?

[nasmil]

Vabé per D=2 è uguale solo che moltiplichi per 2. xD
Il fatto è che hai
$ int H(t-w)*u(w) dw + Du(w) $
Che quindi ti fa capire che se u(t) è la delta, usando Laplace U(s) = 1 perciò ti trovi ...


u(t)= sin(10t) da dove è applicato?

[Marc93bkl]

Quindi la risposta mi sembra di capire, per D=2, sia del tipo $ Y=2*(e^-t)u(t)+ 4*(e^-2t)u(t) +2delta(t) $. Giusto?

L'esercizio sulla risposta all'ingresso u(t)=sin(10t) è per A=[0 1;-2 -3] , B=[0;1] , C=[0 -3], D=1, non è specificato altro. Sarebbe quindi una $ G(s)= (s^2+2)/(s^2+3s+2)=1+ (3/s+1)-(6/s+2) $ .

[nasmil]

Ah allora se non è specificato altro significa che è per ogni t, quindi è la risposta a regime..

[Marc93bkl]

Quindi in questo caso sarebbe: $ y(t)= 3*(e^-t)sin(10t) - 6*(e^-2t)sin(10t)+ delta(t) $ ?

[nasmil]

"Marc93bkl":Quindi in questo caso sarebbe: $ y(t)= 3*(e^-t)sin(10t) - 6*(e^-2t)sin(10t)+ delta(t) $ ?

Nono la risposta a regime non tiene conto dei transitori, come l'hai calcolata? Ti conviene andare nel dominio di Fourier per fare i calcoli e sai che la risposta a regime è :
$yr(t)= |G(jw0)|*Usin(w0*t+phi(G(jw0)+a) $

[Marc93bkl]

Capisco, se lo consideriamo in termini di evoluzione dello stato (libera e forzata) la relazione che ho scritto non andrebbe bene? L'ho calcolata come nel caso precedente, nel dominio della frequenza vorrei evitare, è da un bel po che non lo applico. Inoltre mi interessa al momento conoscere solo questo caso, cioè questa tipologia di sistemi con in ingresso una sinusoide.

[nasmil]

Sìsì va bene però conta che hai che il segnale è applicato da meno infinito no? Di conseguenza se applichi il forzamento sinusoidale, per tempi finiti, ossia per i tempi che ti interessano (perché il meno infinito non ci interessa) tu vedrai soltanto la risposta a regime che non dipende dallo stato iniziale ed inoltre tutti i transitori si sono esauriti.

Poi se mi dici che la sinusoide è applicata in un certo istante, allora il discorso è diverso.