[Teoria dei sistemi] Funzione di trasferimento di uno schema a blocchi

[CosenTheta]

Sto tentando di ricavare la funzione di trasferimento del seguente sistema a blocchi



Applicando le usuali regole degli schemi a blocchi ottengo:

$Y_{1}(s) = G_{1}(s)U(s)$
$Y_{1}(s) - Y(s) = G_{2}(s)U_{2}(s)$

Quindi, ottengo

$G_{1}(s)U(s) - Y(s) = G_{2}(s)U_{2}(s) \rightarrow Y(s) = G_{1}(s)U(s) - G_{2}(s)U_{2}(s)$

Come elimino $U_{2}(s)$ per determinare $\frac{Y(s)}{U(s)}$?

Grazie.

[Flamber]

Io di solito ragiono al contrario e parto dall'uscita invece che dall'ingresso. Questo schema è abbastanza semplice, si tratta di un paio di passaggi algebrici:

1) $Y = U_2 * G_2$
2) $U_2 = Y_1 - Y$
3) $Y_1 = U* G_1$

sostituendo la 3) nella 2) :
4) $U_2 = U*G_1 - Y $

sostituendo la 4) nella 1):
$ Y = (U*G_1 - Y) * G_2 $

E con qualche raccoglimento:
$ Y = U*G_1*G_2 - Y*G_2 $
$ Y(1+G_2) = U*G_1*G_2$
$ Y/U = (G_1*G_2)/(1+G_2) $

Per fare più velocemente invece, tenendo contro della solita relazione $ H(s)= 1/\(beta(s)) * (T(s))/(1+T(s)) $, essendo in questo caso $\beta = 1$ e $T = G_2$ puoi scrivere senza fare alcun conto che il secondo blocco ha FdT:

$Y/Y_1 = G_2/(1+G_2)$

E quindi la FdT del sistema completo la ottieni semplicemente moltiplicando per il guadagno del primo blocco che è fuori dall'anello di feedback:
$ Y/U = (G_1*G_2)/(1+G_2) $

[CosenTheta]

Chiarissimo. Tra l'altro, confrontando le mie equazioni con le tue, mi sono accorto di aver scritto erroneamente che

$ Y_{1}(s) - Y(s) = G_{2}(s)U_{2}(s) $

Il primo membro, anziché eguagliarlo all'ingresso del secondo sistema (cioè semplicemente $U_{2}(s)$), l'ho eguagliato alla sua uscita.