[teoria dei sistemi] esercizio tramite matrice di osservabilità

[bjunior]

Ciao a tutti volevo farvi controllare questo esercizio di teoria dei sistemi che si basa prettamente sull'uso della matrice di osservabilità, per vedere se ho ragionato bene:

Sia dato il sistema:
[tex]x(t+1)=Ax(t)+Bu(t)[/tex]
[tex]y(t)=Cx(t)[/tex]
[tex]A=\begin{bmatrix} -1 & 1 & 1 \\ -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}[/tex]
[tex]B=\begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{bmatrix}[/tex]
[tex]C=\begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}[/tex]

Si calcoli uno stato iniziale [tex]x(0)[/tex] tale che negli istanti di tempo [tex]t=0,1,2[/tex] l'evoluzione libera dell'uscita sia pari a [tex]y(0)=0[/tex], [tex]y(1)=1[/tex] e [tex]y(2)=2[/tex]. Si calcoli inoltre [tex]y(3)[/tex]

Allora io ho svolto cosi:
ho trovato la matrice di osservabilità [tex]Q=\begin{bmatrix} C \\ CA \\ CA^2 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & -1 \end{bmatrix}[/tex]

e ho posto :
[tex]\begin{bmatrix} y(0) \\ y(1) \\ y(2) \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & -1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_1(0) \\ x_2(0) \\ x_3(0) \end{bmatrix}[/tex]

e si ha quindi [tex]x_1(0)=-1[/tex], [tex]x_2(0)=0[/tex] e [tex]x_3(0)=-3[/tex]

per trovare [tex]y(3)[/tex] ho esteso la matrice di osservabilità che diventa:
[tex]Q=\begin{bmatrix} C \\ CA \\ CA^2 \\ CA^3 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & -1 \\ 0 & 1 & 0\end{bmatrix}[/tex]
Dato che l'ultima riga è uguale alla prima elimino la prima e pongo:

[tex]\begin{bmatrix} y(1) \\ y(2) \\ y(3) \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} CA \\ CA^2 \\ CA^3 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_1(0) \\ x_2(0) \\ x_3(0) \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_1(0) \\ x_2(0) \\ x_3(0) \end{bmatrix}[/tex]
e risulta [tex]y(3)=0[/tex]

ho ragionato bene??

grazie a chi mi aiuterà

[D4lF4zZI0]

Non ho controllato tutti i calcoli matriciali, ma il ragionamento è corretto

[bjunior]

grazie mille