[Teoria dei sistemi] Dubbio sugli zeri di una funzione di trasferimento

[CosenTheta]

La funzione di trasferimento di un sistema dinamico è solitamente rappresentata da una funzione razionale fratta del tipo:

$W(s) = \frac{N(s)}{D(s)}$

In particolare, $D(s)$ coincide con il polinomio caratteristico associato alla matrice della dinamica, e i valori che lo annullano sono i poli della funzione in frequenza, ossia gli autovalori del sistema nel tempo. Essi altro non sono che i parametri dei modi naturali nel dominio del tempo: se sono ad esempio tutti reali, sono i coefficienti che compaiono agli esponenziali. Essi, inoltre, determinano anche il carattere del sistema: instabile, stabile, asintoticamente stabile.

Quelli per i quali non riesco a trovarne alcun significato né pratico né fisico sono gli zeri della funzione di trasferimento.
I miei dubbi sono questi:

1) Come per i poli, hanno una corrispondenza nel dominio del tempo?
2) Possono influire in qualche modo sul carattere del sistema?
3) Qual è il loro significato fisico?

Grazie a chi risponderà.

[Flamber]

1) Come per i poli, hanno una corrispondenza nel dominio del tempo?

Non ho capito la domanda. Gli zeri e i poli sono definiti nel dominio della frequenza. Ovviamente la loro posizione influisce sulla forma della FdT e quindi, hanno un effetto sulla risposta all'impulso (nel dominio del tempo)

2) Possono influire in qualche modo sul carattere del sistema?

Certo, un sistema dinamico lineare si può caratterizzare attraverso zeri, poli e guadagno. Quindi influiscono su modulo e fase di un sistema lineare.

3) Qual è il loro significato fisico

Facendo riferimento all'immagine sottostante, sono i punti del piano complesso (segnati con O) in cui il modulo della funzione di trasferimento si annulla, mentre i poli (segnati con la X) sono dei punti in cui il modulo della FdT non è definito (ovviamente perchè sono degli zeri al denominatore ) e in un loro intorni il modulo tende a $oo$.

Quello che chiamiamo diagramma di bode (in scala lineare) non è nient'altro che l'intersezione di questo grafico in 3D, con il piano passante per l'asse immaginario e parallelo all'asse verticale. Questa intersezione (che è evidenziata in nero sulla destra), e l'interpretazione grafica di ciò che accade quando nella funzione di traferimento sotituiamo la variabile complessa $s$ con $j\omega$. Andiamo cioè a valutare modulo e fase della FdT, lungo l'asse immaginario.

Come puoi vedere la presenza e la posizione degli zeri, modifica la forma di questa curva ottenuta come intersezione, e quindi modificano la risposta in frequenza.

I poli hanno più importanza rispetto agli zeri nella stabilità di un sistema, perchè introducono degli $0$ al denominatore che fanno "esplodere" il modulo della FdT a $+oo$, stessa cosa non si può dire per gli zeri, che invece semplicemente annullano la funzione di ftraferimento. Anche loro però introducono una rotazione di fase e quindi hanno sicuramente un'influenza sulla stabilità, ma potremmo fare quelche esempio per entrare più nello specifico.

Guardando sempre il grafico qui sotto, puoi vedere che ci sono due poli complessi coniugati e un polo reale. Ora immagina di ridurre sempre di più la distanza di quei poli complessi dall'asse immaginario, cosa succede alla curva nera? (in un sistema del 2° ordine, lo smorzamento $\xi$ è direttamente proporzionale a questa distanza, quindi la mia domanda equivale a chiedersi cosa succede quando $\xirarr0$ cioè quando i poli tendono a diventare immaginari puri).

Cosa succede invece se avvicini lo zero all'asse?

[CosenTheta]

"Flamber":
Non ho capito la domanda.

Cerco di spiegarmi meglio con un esempio di sistema LTIC.
Si supponga di avere come funzione di risposta impulsiva nell'uscita una funzione del tipo

$w(t) = e^{-2t} + e^{-3t}$

La fdt, per definizione, è la trasformata di Laplace unilatera di questa funzione, che risulta essere

$W(s) = \frac{2s+5}{(s+3)(s+2)}$

Nel dominio della frequenza, $-2$ e $-3$ sono i poli di $W(s)$; questi valori li ritrovo anche nel tempo, perché sono proprio i coefficienti che compaiono agli esponenziali ed il loro segno è fondamentale per la stabilità.

L'unico zero di $W(s)$ è, invece, $-\frac{5}{2}$, che non compare proprio nel tempo. Proprio per questo mi chiedevo: che cosa sta a rappresentare uno zero di una fdt nel dominio del tempo?

"Flamber":(in un sistema del 2° ordine, lo smorzamento $ \xi $ è direttamente proporzionale a questa distanza, quindi la mia domanda equivale a chiedersi cosa succede quando $ \xirarr0 $ cioè quando i poli tendono a diventare immaginari puri).

Il picco di risonanza nel diagramma dei moduli dovrebbe aumentare fino a infinito (caso $\xi$ = 0). Confermi?

"Flamber":
Cosa succede invece se avvicini lo zero all'asse?

Qui non ho proprio idea.

[Flamber]

"CosenTheta":
$w(t) = e^{-2t} + e^{-3t}$

$W(s) = \frac{2s+5}{(s+3)(s+2)}$

Qui ti sei risposto da solo, è immediato risalire ai poli del sistema guardando la risposta all'impulso, ma questa è solo una conseguenza di come è definita la trasformata di laplace. Questo, non vuol dire, però, che gli zeri non abbiano effetto sulla risposta all'impulso, considerando ad esempio una FdT con gli stessi poli, ma con un zero diverso

$H(s) = \frac{s-2}{(s+3)(s+2)}$

ottieni una risposta diversa:

$h(t) = 5e^(-3t)-4e^(-2t)$

Semplifichiamo un attimo il discorso, facciamo l'esempio un sistema (che non esiste nel mondo fisico) e guardiamolo come una black-box, e facciamo finta che la fase non esista, pensiamo solo al modulo. Pensa di avere sull'asse immaginario un polo a $f_p = 100Hz$ e uno zero a frequenza $f_z = 10 Hz$.
Ora mandiamoci una sinusoide $x(t)=cos(2\pift)$ in ingresso, ed immaginiamo di poterne regolare la frequenza . Quando siamo alla frequenza dello zero la sinusoide è $x(t)=cos(2\pif_zt)$ abbiamo in uscita $y(t) = H(f_z)*x(t) = 0$
Un'uscita poco interessante ( a meno che non volessimo filtrare proprio quella frequenza ), ma che non dà problemi di stabilità. Ora invece regoliamo la frequenza della sinusoide a $x(t)=cos(2\pif_pt)$, la funzione in $f_p$ non esiste (c'è uno zero al denominatore), ma per $f rarr f_p$ abbiamo che $H(f_p)rarr+oo$, quindi l'uscita $y(t)$ inizia ad oscillare (teoricamente) tra $-oo$ e $+oo$, e questo possiamo definirlo decisamente un problema di stabilità

Il picco di risonanza nel diagramma dei moduli dovrebbe aumentare fino a infinito (caso $\xi$ = 0). Confermi?
...
Qui non ho proprio idea.

Esatto, guarda l'immagine D, semplicemente hai che $\xi=cos\theta$, dove $\theta$ è l'angolo acuto tra i vettori che puntano i poli e l'asse reale (per essere più precisi potremmo dire la differenza tra $\pi$ e la fase dei poli). per $\theta=0$ hai un polo doppio reale e quindi smorzamento $\xi=1$, per $theta=\pi/2$ due poli immaginari puri e quindi smorzamento $\xi=0$.

Per quanto riguarda lo zero, prova a fare uno sforzo di immaginazione, guarda quel grafico del messagio precedente e immagina ti "trascinare" i poli e lo zero proprio sotto quella curva nera. Che forma assumerebbe quella curva? Ti do un aiuto (tra quei due poli c'è uno zero)



A)


B)
Qui si vede bene che questo filtro ad esempio sarebbe un buon passa alto. Ma se non ci fosse quello zero che "tira giù" il guadagno nell'origine, questo filtro sarebbe (circa) un passa banda. Quindi per rispondere alla domanda 2, gli zeri sono importanti tanto quanto i poli nel determinare il comportamento di un sistema, ma, per rispondere alla domanda tre, non causano problemi di instabilità.


C)

* Questo vuol dire essenzialmente spostare lo zero nell'origine, e i poli sull'asse immaginario, ottenendo smorzamento nullo.


D)

Ovviamente questa non vuole essere una trattazione completa dell'argomento, a questo proposito ti consiglio "Signal & Systems" - A. Oppenheim . Lo scopo del post è quello di dare una spiegazione intuitiva del motivo per il quale i poli, a differenza degli zeri costituiscano un problema per la stabilità del sistema. Per una discorso esaustivo bisognerebbe anche considerare la fase, e magari riporare il discorso sui diagrammi di Nichols e di Nyquist.

[CosenTheta]

Scusami, ma quest'operazione di "trascinamento" di poli e zeri sotto la curva nera non lo hai fatto già tu nell'immagine C?

[Flamber]

Si, con “fai uno sforzo di immaginazione” mi riferivo al fatto di provare a visualizzare cosa stesse succedendo nella traslazione