[Teoria dei sistemi] Dubbio notazione Trasformata di Laplace
Buonasera, ho un piccolo dubbio sulla trasformata di Laplace, in particolare su questo esercizio:
Calcolare la trasformata di Laplace di \(\displaystyle u(t) = t^{2} \delta_{-1} (t-2) \)
Il risultato del libro è:
\(\displaystyle e^{-2s} \frac{2!}{s^{3}} \)
A me questo risultato non torna, in realtà forse perchè non riesco a capire cosa intenda il libro per \(\displaystyle \delta_{-1} \), la funzione gradino? Per me il risultato è: \(\displaystyle \frac{6-4s}{s^{4}} \)
Io ,la funzione gradino (nella notazione che ho usato per Analisi 2) l'ho sempre chiamata \(\displaystyle u(t) \), quindi se quella \(\displaystyle \delta_{-1} \) è la funzione gradino allora il testo dell'esercizio sarebbe: \(\displaystyle t^{2} u(t) (t-2) \) , la cui trasformata è il risultato che trovo.
Anche facendo l'antitrasformata di Laplace del risultato che trova il libro ottengo (fatto con Wolfram Alpha):
\(\displaystyle (t-2)^{2} \theta(t-2) \) che non è uguale al testo dell'esercizio ( \(\displaystyle \theta(t) \) è la notazione che usa Wolfram per la funzione gradino ).
Inoltre il libro prima di indicarmi la tabellina con le trasformate note mi dice:
In tabella le funzioni sono moltiplicate per \(\displaystyle \delta_{-1}(t) \) per indicare che
sono nulle per t < 0.
La tabella in questione è in allegato, nella quale vedo che c'è solo una trasformata che genera il numero di nepero (9° riga) quindi usa una delle proprietà di traslazione \(\displaystyle L[u(t-a)f(t-a)] = e^{-as}F(s) \), questo dovrebbe confermare che quello che il libro chiama come \(\displaystyle \delta_{-1} \) è quello che io chiamo \(\displaystyle u(t) \) ( e che Wolfram chiama \(\displaystyle \theta(t) \)). Giusto? Correggetemi se sbaglio.
Vorrei fare un po' di chiarezza su questa notazione e soprattutto anche sull'esercizio.
Grazie mille delle eventuali risposte.
Calcolare la trasformata di Laplace di \(\displaystyle u(t) = t^{2} \delta_{-1} (t-2) \)
Il risultato del libro è:
\(\displaystyle e^{-2s} \frac{2!}{s^{3}} \)
A me questo risultato non torna, in realtà forse perchè non riesco a capire cosa intenda il libro per \(\displaystyle \delta_{-1} \), la funzione gradino? Per me il risultato è: \(\displaystyle \frac{6-4s}{s^{4}} \)
Io ,la funzione gradino (nella notazione che ho usato per Analisi 2) l'ho sempre chiamata \(\displaystyle u(t) \), quindi se quella \(\displaystyle \delta_{-1} \) è la funzione gradino allora il testo dell'esercizio sarebbe: \(\displaystyle t^{2} u(t) (t-2) \) , la cui trasformata è il risultato che trovo.
Anche facendo l'antitrasformata di Laplace del risultato che trova il libro ottengo (fatto con Wolfram Alpha):
\(\displaystyle (t-2)^{2} \theta(t-2) \) che non è uguale al testo dell'esercizio ( \(\displaystyle \theta(t) \) è la notazione che usa Wolfram per la funzione gradino ).
Inoltre il libro prima di indicarmi la tabellina con le trasformate note mi dice:
In tabella le funzioni sono moltiplicate per \(\displaystyle \delta_{-1}(t) \) per indicare che
sono nulle per t < 0.
La tabella in questione è in allegato, nella quale vedo che c'è solo una trasformata che genera il numero di nepero (9° riga) quindi usa una delle proprietà di traslazione \(\displaystyle L[u(t-a)f(t-a)] = e^{-as}F(s) \), questo dovrebbe confermare che quello che il libro chiama come \(\displaystyle \delta_{-1} \) è quello che io chiamo \(\displaystyle u(t) \) ( e che Wolfram chiama \(\displaystyle \theta(t) \)). Giusto? Correggetemi se sbaglio.
Vorrei fare un po' di chiarezza su questa notazione e soprattutto anche sull'esercizio.
Grazie mille delle eventuali risposte.
Risposte
In effetti, soprattutto i sistemisti, indicano la funzione a gradino con il simbolo $ delta_(-1)(t) $.
Quindi l'esempio che ti è stato assegnato lo puoi effettivamente leggere come $ f(t) = t^2u(t-2) $; ora ricordando uno dei teoremi fondamentali:
$ L[u(t-a)f(t-a)] = e^(-as)F(s) $
ottieni la soluzione del libro
Quindi l'esempio che ti è stato assegnato lo puoi effettivamente leggere come $ f(t) = t^2u(t-2) $; ora ricordando uno dei teoremi fondamentali:
$ L[u(t-a)f(t-a)] = e^(-as)F(s) $
ottieni la soluzione del libro
Grazie della risposta ma ho ancora dei dubbi.
La formula che scrivi tu non dovrebbe essere \(\displaystyle L[u(t-a)f(t-a)] = e^{-as}F(s) \) ?
In questo caso non si potrebbe usare anche questa --> \(\displaystyle L[t^{n}f(t)] = (-1)^{n} \frac{d^{n}}{ds^{n}}(F(s)) \) ?
Dove \(\displaystyle t^{n} = t^{2} \) e \(\displaystyle f(t) = u(t-2) \)
Svolgendo i conti per entrambe le formule a me viene questo risultato: \(\displaystyle e^{-2s}(\frac{2}{s^{3}} + \frac{4}{s} + \frac{4}{s^{2}}) \) che è diverso da quello del libro. Sbaglio qualcosa? Se volete scrivo lo svolgimento.
Ps: Facendo con Wolfram Alpha questa trasformata, viene il mio stesso risultato https://www.wolframalpha.com/input/?i=laplace+transform+(t%5E2+%CE%B8(t-2))
Grazie dell'aiuto
La formula che scrivi tu non dovrebbe essere \(\displaystyle L[u(t-a)f(t-a)] = e^{-as}F(s) \) ?
In questo caso non si potrebbe usare anche questa --> \(\displaystyle L[t^{n}f(t)] = (-1)^{n} \frac{d^{n}}{ds^{n}}(F(s)) \) ?
Dove \(\displaystyle t^{n} = t^{2} \) e \(\displaystyle f(t) = u(t-2) \)
Svolgendo i conti per entrambe le formule a me viene questo risultato: \(\displaystyle e^{-2s}(\frac{2}{s^{3}} + \frac{4}{s} + \frac{4}{s^{2}}) \) che è diverso da quello del libro. Sbaglio qualcosa? Se volete scrivo lo svolgimento.
Ps: Facendo con Wolfram Alpha questa trasformata, viene il mio stesso risultato https://www.wolframalpha.com/input/?i=laplace+transform+(t%5E2+%CE%B8(t-2))
Grazie dell'aiuto
Hai ragione sulla formula, infatti ho corretto il post precedente.
Concordo con il tuo risultato, ma resta il dubbio sul risultato del libro: è proprio la soluzione nel caso dello shifting nel tempo
Concordo con il tuo risultato, ma resta il dubbio sul risultato del libro: è proprio la soluzione nel caso dello shifting nel tempo
Grazie ancora della risposta,
Per ora mi ritengo soddisfatto almeno il dubbio sulla notazione sembra essere chiarito
Aspetto ancora qualche giorno per mettere "Risolto" al topic magari qualcun altro interviene (altrimenti si va off-topic ).
Grazie mille dei tuoi consigli sei stato molto utile
resta il dubbio sul risultato del libro: è proprio la soluzione nel caso dello shifting nel temposì in effetti sembra proprio così.
Per ora mi ritengo soddisfatto almeno il dubbio sulla notazione sembra essere chiarito
Aspetto ancora qualche giorno per mettere "Risolto" al topic magari qualcun altro interviene (altrimenti si va off-topic ).
Grazie mille dei tuoi consigli sei stato molto utile
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo