[Teoria dei sistemi] Discretizzazione sistema
Salve,
sto cercando di risolvere un esercizio, ma purtroppo non riesco a capirne nemmeno la traccia, non so proprio come impostarlo. Quindi chiedevo se mi possiate dare almeno un input perché davvero non so da dove partire.
L'esercizio é questo:
Assegnato $ ddot y(t) = u(t) $ calcolare il sistema a tempo discreto equivalente e studiarne la stabilità.
Grazie!
sto cercando di risolvere un esercizio, ma purtroppo non riesco a capirne nemmeno la traccia, non so proprio come impostarlo. Quindi chiedevo se mi possiate dare almeno un input perché davvero non so da dove partire.
L'esercizio é questo:
Assegnato $ ddot y(t) = u(t) $ calcolare il sistema a tempo discreto equivalente e studiarne la stabilità.
Grazie!
Risposte
Per quanto riguarda il sistema, si tratta di un doppio integratore, infatti:
\( y(t) = \int_0^t \left( \int_0^{t'} u(t'') \mathrm{d}t'' \right)\mathrm{d}t' \), considerando per semplicità la risposta nulla al tempo 0.
A questo punto puoi passare al dominio di Laplace trasformando entrambi i lati dell'equazione:
\(Y(s) = s^2U(s) \Rightarrow H(s) := \frac{Y(s)}{U(s)} = \frac{1}{s^2}\).
Il sistema non è 'BIBO' (Bounded Input Bounded Output) stabile perché ha due poli a parte reale nulla.
A questo punto puoi provare qualche metodo di discretizzazione e calcolare l'equivalente discreto di questa funzione di trasferimento. Il metodo 'Backwar Euler' per esempio, consente di stabilizzare un sistema instabile, scegliendo un preciso tempo di campionamento, anche se , a rigore questa non è una procedura corretta, dal momento che la pulsazione di campionamento deve in genere sottostare ad altri vincoli.
\( y(t) = \int_0^t \left( \int_0^{t'} u(t'') \mathrm{d}t'' \right)\mathrm{d}t' \), considerando per semplicità la risposta nulla al tempo 0.
A questo punto puoi passare al dominio di Laplace trasformando entrambi i lati dell'equazione:
\(Y(s) = s^2U(s) \Rightarrow H(s) := \frac{Y(s)}{U(s)} = \frac{1}{s^2}\).
Il sistema non è 'BIBO' (Bounded Input Bounded Output) stabile perché ha due poli a parte reale nulla.
A questo punto puoi provare qualche metodo di discretizzazione e calcolare l'equivalente discreto di questa funzione di trasferimento. Il metodo 'Backwar Euler' per esempio, consente di stabilizzare un sistema instabile, scegliendo un preciso tempo di campionamento, anche se , a rigore questa non è una procedura corretta, dal momento che la pulsazione di campionamento deve in genere sottostare ad altri vincoli.
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