[Teoria dei Sistemi]: Compito Risolto, ma ho dei dubbi.
Salve a tutti!
Ho fatto il compito di sistemi, ma ho alcuni dubbi relativi all'esame.
1) Un esercizio mi richiedeva di tracciare i diagrammi di Bode della seguente funzione di trasferimento
$(s^3 + 4 s^2 + 10 s + 7)/(s^5 + 16 s^4 + 103 s^3 + 333 s^2 + 540 s + 351)$
e non ho avuto problemi nel risolverlo. I diagrammi infatti mi sono venuti proprio così:
Uploaded with ImageShack.us
poi sempre tramite i diagrammi di bode mi chiedeva di calcolare la risposta a regime al segnale: $u(t) = sen(100t + pi/4)$
Non so se ho fatto bene, ma ho preso sul diagramma di bode $omega = 100$ rad/sec e li ho convertiti, se non ho sbagliato veniva $10^-4$ e sul diagramma della fase con lo stesso procedimento: $-pi/2$, ho sostituito nel teorema che mi dice:
$x(t) = |G(jomega)|*sin(omegat + pi/4 - pi/2)$
Fin qui spero di aver fatto bene.
Il terzo punto non sono riuscito a farlo un po' per mancanza di tempo, un po' perché non so come farlo.
Per quali valori della frequenza la risposta a regime è attenuata di $0.01$?
Penserei che devo utilizzare il punto precedente ma come?
Ho fatto il compito di sistemi, ma ho alcuni dubbi relativi all'esame.
1) Un esercizio mi richiedeva di tracciare i diagrammi di Bode della seguente funzione di trasferimento
$(s^3 + 4 s^2 + 10 s + 7)/(s^5 + 16 s^4 + 103 s^3 + 333 s^2 + 540 s + 351)$
e non ho avuto problemi nel risolverlo. I diagrammi infatti mi sono venuti proprio così:
Uploaded with ImageShack.us
poi sempre tramite i diagrammi di bode mi chiedeva di calcolare la risposta a regime al segnale: $u(t) = sen(100t + pi/4)$
Non so se ho fatto bene, ma ho preso sul diagramma di bode $omega = 100$ rad/sec e li ho convertiti, se non ho sbagliato veniva $10^-4$ e sul diagramma della fase con lo stesso procedimento: $-pi/2$, ho sostituito nel teorema che mi dice:
$x(t) = |G(jomega)|*sin(omegat + pi/4 - pi/2)$
Fin qui spero di aver fatto bene.
Il terzo punto non sono riuscito a farlo un po' per mancanza di tempo, un po' perché non so come farlo.
Per quali valori della frequenza la risposta a regime è attenuata di $0.01$?
Penserei che devo utilizzare il punto precedente ma come?
Risposte
Esercizio 2
Quest'altro esercizio mi chiedeva:
Dato il sistema descritto dalla seguente f.d.t:
$G(s) = (s^2 + 7*s + 20)/[(s + 1)*(s^2 + 2)]$
si studi, con il criterio di Routh, la stabilità del sistema retroazionato ad anello k.
Allora dovrebbe essere uno schema a blocchi così:
$K*G(s)/[1+K*G(s)] = K*(s^2 + 7*s + 20)/[(s + 1)*(s^2 + 2)]/[1 + K*(s^2 + 7*s + 20)/((s + 1)*(s^2 + 2))]$
effettuando il minimo comune multiplo e altri calcoli viene:
$Y(s) = (K*(s^2 + 7*s + 20))/[(s + 1)*(s^2 + 2) + K*(s^2 + 7*s + 20)]
Dovevo dividere sia denominatore che numeratore per K o potevo applicare anche così il criterio di Routh al denominatore? Perché quel k al numerato me lo sono dimenticato per la fretta
Comunque alla fine mi esce che è stabile per $K>2$
Quest'altro esercizio mi chiedeva:
Dato il sistema descritto dalla seguente f.d.t:
$G(s) = (s^2 + 7*s + 20)/[(s + 1)*(s^2 + 2)]$
si studi, con il criterio di Routh, la stabilità del sistema retroazionato ad anello k.
Allora dovrebbe essere uno schema a blocchi così:
$K*G(s)/[1+K*G(s)] = K*(s^2 + 7*s + 20)/[(s + 1)*(s^2 + 2)]/[1 + K*(s^2 + 7*s + 20)/((s + 1)*(s^2 + 2))]$
effettuando il minimo comune multiplo e altri calcoli viene:
$Y(s) = (K*(s^2 + 7*s + 20))/[(s + 1)*(s^2 + 2) + K*(s^2 + 7*s + 20)]
Dovevo dividere sia denominatore che numeratore per K o potevo applicare anche così il criterio di Routh al denominatore? Perché quel k al numerato me lo sono dimenticato per la fretta
Comunque alla fine mi esce che è stabile per $K>2$
Esercizio 3
Data la seguente funzione di trasferimento:
$G(s) = k/(p(s))$
determinare k ed il polinomio p(s) in modo che abbia guadagno statico pari a 9, un modo aperiodico convergente con costante di tempo pari a 2 secondi, modi pseudoperiodici convergenti che oscillano ad una frequenza di 0.4 Hz ed hanno uno smorzamento pari a 0.5.
Allora io ho risolto nel seguente modo ho pensato che il polinomio è della forma:
$p(s) = s^2 + 2*s*eta*omega_n + (omega_n)^2$
Quindi il guadagno statico si ha quando:
$G(0) = K/(omega_n)^2 = 9$
una volta calcolata $omega = 2*pi*f$
risolvendo il sistema
$omega = omega_n*sqrt(1 - eta^2)$
$tau = 4.6/(eta*omega_n)$
si ricavano i dati di interesse.
Questi sono i tre esercizi dove ho dubbi. Routh mi sa che ho fatto bene. Gli altri esercizi li ho fatti bene, almeno spero.
Grazie per le vostre risposte.
Data la seguente funzione di trasferimento:
$G(s) = k/(p(s))$
determinare k ed il polinomio p(s) in modo che abbia guadagno statico pari a 9, un modo aperiodico convergente con costante di tempo pari a 2 secondi, modi pseudoperiodici convergenti che oscillano ad una frequenza di 0.4 Hz ed hanno uno smorzamento pari a 0.5.
Allora io ho risolto nel seguente modo ho pensato che il polinomio è della forma:
$p(s) = s^2 + 2*s*eta*omega_n + (omega_n)^2$
Quindi il guadagno statico si ha quando:
$G(0) = K/(omega_n)^2 = 9$
una volta calcolata $omega = 2*pi*f$
risolvendo il sistema
$omega = omega_n*sqrt(1 - eta^2)$
$tau = 4.6/(eta*omega_n)$
si ricavano i dati di interesse.
Questi sono i tre esercizi dove ho dubbi. Routh mi sa che ho fatto bene. Gli altri esercizi li ho fatti bene, almeno spero.
Grazie per le vostre risposte.
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