[Teoria dei segnali] Valore medio di un segnale periodico

[nostradamus19151]

Salve a tutti, ho questo segnale:
\(\displaystyle \sum{2(\Pi(\frac{t-6n}{6})-\Lambda(\frac{t-6n}{2}))} \)
devo calcolare valore medio e potenza (concentriamoci sul valore medio)
Innanzitutto posso considerare solo il generatore. Il segnale generatore è:
\begin{cases} |t| \:\:per\:\: |t|<=2 \\ 2 \:\:per\:\: 2<=|t|<=3 \\ 0 \:\: else \end{cases}
Per calcolare il valore medio faccio:
\(\displaystyle \frac{2}{3}*(\int_0^2{t dt} + \int_2^3{dt}) \)
e viene 2, mentre il libro porta come risultato \(\displaystyle \frac{4}{3} \)
Praticamente è come se il secondo integrale venisse sottratto, ma non riesco a capire perché. Suggerimenti?

[nostradamus19151]

Forse ho capito dove ho sbagliato, quando faccio l'integrale moltiplico tutto per l'ampiezza, ma non devo farlo perché già la sto considerando all'interno degli integrali.

[Oiram92]

Quando hai a che fare con segnali periodicizzati (come in questo caso) è conveniente utilizzare i vari teoremi semplificativi che adottano le trasformate di Fourier. In questo caso, il segnale :

\(\displaystyle y(t) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} 2 rect\left(\frac{t-6n}{6}\right) - 2 tr\left(\frac{t-6n}{2}\right) \)

è la periodicizzazione di periodo \(\displaystyle 6 \) del segnale base :

\(\displaystyle x(t) = 2 rect\left(\frac{t}{6}\right) - 2 tr\left(\frac{t}{2}\right) \)

cioè :

\(\displaystyle y(t) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} x(t-6n) \)

se sostituisci ti rendi conto che è lo stesso segnale. Adesso, calcolando la trasformata di Fourier di questo segnale periodicizzato (sfruttando la prima formula di somma di Poisson) abbiamo che :

\(\displaystyle Y(f) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} \left[2 sinc(n) - \frac{2}{3} sinc\left(\frac{n}{3}\right) \right] \delta\left(f- \frac{n}{6}\right) \)

dove la quantità tra parentesi quadre è il coefficiente \(\displaystyle Y_n \) dello sviluppo in serie di Fourier. A questo punto esiste un teorema che afferma :

\(\displaystyle y_m = Y_0 = 2 sinc(0) - \frac{2}{3} sinc(0) = 2 - \frac{2}{3} = \frac{4}{3} \)

che è il risultato che ti aspettavi. Adesso come procedi per calcolare la potenza?