[Teoria dei Segnali] Trasformata Fourier

[gargio]

Applicando la proprietà di dualità della trasformata di Fourier

$x(t) -> X(f)$
allora
$X(t) -> x(-f)$ oppure $x(f) -> X(-t)$

trovare la trasformata di $x(t) = 1/t$

Qualcuno ha idee di come fare? Grazie mille

[Sinuous]

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[gargio]

Quindi bisogna ricondursi ad una trasformata notevole che contenga quello che vogliamo trovare e trattare il tutto come un'equazione normale, per isolare poi quello a cui siamo interessati, giusto?
Grazie intanto per la risposta

P.s
Nella soluzione postata per $omega$ si intende la $f$ ?

[Sinuous]

Giusto. Comunque la dimostrazione non è lunghissima.
P.S.: $ omega = 2pi f $

[gargio]

Non cambierebbe niente avere $sgn(f)$ al posto di $sgn(omega)$?

[Sinuous]

Per la funzione $SGN$ no.

[gargio]

Dalle mie dispense la trasformata di $sgn(t)$ è $1/(jpif)$ e la trasformata di $-1/(jpit)$ è $sgn(f)$: quindi mi sembra che avendo la $f$ il risultato non cambi e risulti comunque che la trasformata di $1/t$ è $ -jpisgn(f)$

C'è qualche considerazione errata? Grazie

[Sinuous]

Tutto corretto, si tratta solo di un cambio di variabile: $f$ invece di $omega$. Il risultato non cambia.

[gargio]

Ok, per il ragionamento ci sono. Avrei ancora dei dubbi su qualche accorgimento della parte pratica:
nel caso io debba trovare la trasformata di $1/(1+t^2)$ come sarebbe il procedimento?

[Sinuous]

Devi utilizzare la proprietà di Dualità della Trasformata.
Ti rimando al seguente link dove troverai la soluzione al tuo problema (pag.11):

http://www.ateneonline.it/alexander4e/i ... _cap19.pdf

[gargio]

Grazie per il link. Ho visto che a pagina 11 c'è l'esempio quasi uguale a quello che chiedevo io ($1/(1+t^2)$), ma essendoci $omega$ al posto di $f$ questo mi confonde e non riesco a capire bene i passi della risoluzione. Potresti darmi ancora un aiuto? Grazie tanto

[Sinuous]

"Sinuous":Giusto. Comunque la dimostrazione non è lunghissima.
P.S.: $ omega = 2pi f $