[Teoria dei Segnali] Trasformata di Fourier
Buonasera a tutti,
Mi occorre una mano con un esercizio sulla trasformata di Fourier.
Devo calcolare la trasformata di questa x(t):
$int_(-oo )^(+oo ) cos(6pix) * int_(-oo)^(2(t-x)) sinc(s-2) dsdx $
Io avevo pensato di procedere in questo modo:
-chiamoil risultato del secondo integrale y(2(t-x))
-l'integrale che così ottengo è una convoluzione tra il coseno e y(2t).
Quello che ora mi chiedo: la convoluzione che rappresenta questo integrale è cos(6pi(2t))*y(2t)
Oppure cos(6pit)*y(2t).
La trasformata di questa convoluzione poi non sarà altro che il prodotto delle trasformate.
-un'altra domanda: come calcolo la trasformata di y(2t)? In teoria quella sarebbe la trasformata dell'integrale,caratterizzato da una variazione di scala? Non riesco però a trattarla, perché mi confonde l'argomento del sinc (anch'esso caratterizzato da una variazione di scala e da una traslazione) e l'estremo dell'integrale.
Quando devo calcolare la trasformata è come se quel "-x" all'estremo dell'integrale non ci fosse?
Vi ringrazio tantissimo con anticipo!
Buona serata!
Mi occorre una mano con un esercizio sulla trasformata di Fourier.
Devo calcolare la trasformata di questa x(t):
$int_(-oo )^(+oo ) cos(6pix) * int_(-oo)^(2(t-x)) sinc(s-2) dsdx $
Io avevo pensato di procedere in questo modo:
-chiamoil risultato del secondo integrale y(2(t-x))
-l'integrale che così ottengo è una convoluzione tra il coseno e y(2t).
Quello che ora mi chiedo: la convoluzione che rappresenta questo integrale è cos(6pi(2t))*y(2t)
Oppure cos(6pit)*y(2t).
La trasformata di questa convoluzione poi non sarà altro che il prodotto delle trasformate.
-un'altra domanda: come calcolo la trasformata di y(2t)? In teoria quella sarebbe la trasformata dell'integrale,caratterizzato da una variazione di scala? Non riesco però a trattarla, perché mi confonde l'argomento del sinc (anch'esso caratterizzato da una variazione di scala e da una traslazione) e l'estremo dell'integrale.
Quando devo calcolare la trasformata è come se quel "-x" all'estremo dell'integrale non ci fosse?
Vi ringrazio tantissimo con anticipo!
Buona serata!
Risposte
Sinceramente non saprei neanch'io come svolgerlo, ma ricordo il mio professore che mi disse che il $sinc$ non era mai da usare nei calcoli e andava in qualche modo trasformato con Fourier. Non so se intendesse nei suoi esercizi o in generale, comunque potresti sempre vederlo come la definizione $sinc(x)=sin(pix)/(pix)$ in modo da avere un seno e conoscerne i valori. Fammi sapere se hai illuminazioni e riesci a risolvere
Ti ringrazio moltissimo per la risposta 
A noi solitamente il professore ha sempre fatto lavorare con il sinc, perché la sua trasformata è semplicemente un rect. A me purtroppo quello che confonde è l'estremo dell'integrale e il risultato della convoluzione: entrambi i segnali saranno poi caratterizzati da un (2t)? Comunque se riesco ad uscirne fuori ti faccio sapere con piacere.
Grazie ancora
A noi solitamente il professore ha sempre fatto lavorare con il sinc, perché la sua trasformata è semplicemente un rect. A me purtroppo quello che confonde è l'estremo dell'integrale e il risultato della convoluzione: entrambi i segnali saranno poi caratterizzati da un (2t)? Comunque se riesco ad uscirne fuori ti faccio sapere con piacere.
Grazie ancora
Temo mi stia sfuggendo qualcosa (forse a causa della formulazione grafica dell’integrale...): se quella integranda è una funzione del tipo: $f(x,t,s)$ e le variabili di integrazione sono: $ds$ e $dt$, quella risultante dovrebbe essere una $y(x)$, non una $y(t)$ di cui si possa fare la Trasformata di Fourier...
Si hai ragione ho sbagliato io a scrivere, le variabili di integrazione sono ds e dx. La forma corretta dell'integrale è questa: $ int_(-oo )^(+oo ) cos(6pix) * int_(-oo)^(2(t-x)) sinc(s-2) dsdx $
Sono un po’ stupito che vi assegnino esercizi con questo livello di complicazione: l’integrale interno è di fatto una convoluzione fra una funzione: $sinc()$ e una funzione: $u()$ (gradino di Heaviside), la funzione che ne risulta viene a sua volta moltiplicata in convoluzione con una funzione: $cos()$. L’unica semplificazione che ne deriva è che la trasformata di Fourier delle tre convoluzioni è pari al prodotto della trasformata delle tre funzioni prese separatamente...
Provo a risolverlo in questo modo, ti ringrazio tantissimo!
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