[Teoria dei Segnali] Spettro del segnale
Salve a tutti ragazzi. Devo risolvere questo esercizio:
Determinare lo spettro del segnale:
(per favore non mi linciate, sbaglio qualcosa, ma non capisco dove)
Per la determinazione dello spettro faccio così:
$ w(t)={ ( be^(-t/a+1)) ,( 0 ), (-be^(t/a+1)):} $
La prima per $t<0$, la seconda per $t=0$ la terza per $t>0$ (non sono riuscito a scriverlo nel sistema)
Ho riscritto il sistema in questo modo:
$ w(t)={ ( be^(-|t|/a+1)) ,( 0 ), (-be^(-|t|/a+1)):} $
(Ho aggiunto il modulo alla variabile $t$ e il segno meno all'espressione per $t>0$
sapendo inoltre che la Trasformata di Fourier:
$ F[e^(-|t|/T)] rarr 2/F * 1/(1+((2pif)/F)^2) $
Ottengo per la prima (t>0):
$ F[be^(-|t|/a+1)] = F[b*e^1*e^(-|t|/a)] = b*e*F[e^(-|t|/a)] = (2bea)/(1+(2pifa)^2) $
avendo sostituito $T=a$ , quindi $F=1/T = 1/a$;
Con le stesse considerazioni per la seconda (t<0):
Ottengo
$ F[-be^(-|t|/a+1)] = F[-b*e^1*e^(-|t|/a)] = -b*e*F[e^(-|t|/a)] = (-2bea)/(1+(2pifa)^2) $
Ora sapendo che la TDF è lineare, posso sommare le due TDF, ma ottengo 0.
Il mio dubbio è proprio questo, cosa c'è di sbagliato nel mio procedimento?
Grazie in anticipo
Determinare lo spettro del segnale:
(per favore non mi linciate, sbaglio qualcosa, ma non capisco dove)
Per la determinazione dello spettro faccio così:
$ w(t)={ ( be^(-t/a+1)) ,( 0 ), (-be^(t/a+1)):} $
La prima per $t<0$, la seconda per $t=0$ la terza per $t>0$ (non sono riuscito a scriverlo nel sistema)
Ho riscritto il sistema in questo modo:
$ w(t)={ ( be^(-|t|/a+1)) ,( 0 ), (-be^(-|t|/a+1)):} $
(Ho aggiunto il modulo alla variabile $t$ e il segno meno all'espressione per $t>0$
sapendo inoltre che la Trasformata di Fourier:
$ F[e^(-|t|/T)] rarr 2/F * 1/(1+((2pif)/F)^2) $
Ottengo per la prima (t>0):
$ F[be^(-|t|/a+1)] = F[b*e^1*e^(-|t|/a)] = b*e*F[e^(-|t|/a)] = (2bea)/(1+(2pifa)^2) $
avendo sostituito $T=a$ , quindi $F=1/T = 1/a$;
Con le stesse considerazioni per la seconda (t<0):
Ottengo
$ F[-be^(-|t|/a+1)] = F[-b*e^1*e^(-|t|/a)] = -b*e*F[e^(-|t|/a)] = (-2bea)/(1+(2pifa)^2) $
Ora sapendo che la TDF è lineare, posso sommare le due TDF, ma ottengo 0.
Il mio dubbio è proprio questo, cosa c'è di sbagliato nel mio procedimento?
Grazie in anticipo
Risposte
Prova a fare la somma con i grafici piuttosto che algebricamente
La somma dei due grafici sono uno il ribaltato rispetto all'asse y dell'altro. Quindi la somma fa 0
Riguardando il testo, sei sicuro che sia così? perchè, a parte un errore quando aggiungi il modulo, il segnale di partenza non è quadrato sommabile e quindi facendo l'integrale diverge. O mi sta sfuggendo qualcosa di stupido oppure credo che siano invertiti $t<0$ e $t>0$.
Inoltre, come dicevo prima, credo ci sia un errore quando aggiungi il modulo: per come è definito il segnale, entrambi gli esponenziali dovrebbero essere positivi.
Assicurati che il testo dell'esercizio sia giusto.
Inoltre, come dicevo prima, credo ci sia un errore quando aggiungi il modulo: per come è definito il segnale, entrambi gli esponenziali dovrebbero essere positivi.
Assicurati che il testo dell'esercizio sia giusto.
Da come è stata definita sembra che la funzione che devi trasformare possa essere scritta:
$w(t)=sgn(t)*b*e^(-|t|/a+1)$
Se provi a F-trasformarla, così definita, otterrai un risultato molto diverso da quello riportato.
P.S.: ti consiglio di utilizzare la proprietà delle trasformate di funzioni reali dispari.
$w(t)=sgn(t)*b*e^(-|t|/a+1)$
Se provi a F-trasformarla, così definita, otterrai un risultato molto diverso da quello riportato.
P.S.: ti consiglio di utilizzare la proprietà delle trasformate di funzioni reali dispari.
"Sinuous":
Da come è stata definita sembra che la funzione che devi trasformare possa essere scritta:
$w(t)=sgn(t)*b*e^(-|t|/a+1)$
Esatto volevo arrivare proprio lì. Infatti secondo me sono state invertite le espressioni o le condizioni.
Grazie mille ragazzi, ho risolto.
Ho scritto la funzione come mi avete detto e infatti può essere scritta, poi ho integrato e ho ottenuto:
$ w(f)=(4abe)/(1+4pi^2f^2a^2) $
Ho scritto la funzione come mi avete detto e infatti può essere scritta, poi ho integrato e ho ottenuto:
$ w(f)=(4abe)/(1+4pi^2f^2a^2) $
Il denominatore mi sembra corretto ma temo che il risultato non sia ancora quello giusto, poiché per: $ω=0$, e cioè in continua, la funzione renderebbe un valore non nullo, mentre il tuo segnale nel tempo è evidentemente a valor medio nullo. Credo che manchi un temine proporzionale a $jω$ a numeratore...
"mide":
Riguardando il testo, sei sicuro che sia così? perchè, a parte un errore quando aggiungi il modulo, il segnale di partenza non è quadrato sommabile e quindi facendo l'integrale diverge. O mi sta sfuggendo qualcosa di stupido oppure credo che siano invertiti $t<0$ e $t>0$.
Inoltre, come dicevo prima, credo ci sia un errore quando aggiungi il modulo: per come è definito il segnale, entrambi gli esponenziali dovrebbero essere positivi.
Assicurati che il testo dell'esercizio sia giusto.
Scusatemi ho sbagliato io, ma comunque nei calcoli $t>0$ e $t<0$ sono scritti correttamente.
"Sinuous":
Da come è stata definita sembra che la funzione che devi trasformare possa essere scritta:
$ w(t)=sgn(t)*b*e^(-|t|/a+1) $
Se provi a F-trasformarla, così definita, otterrai un risultato molto diverso da quello riportato.
P.S.: ti consiglio di utilizzare la proprietà delle trasformate di funzioni reali dispari.
Purtroppo non riesco a capire come F-trasformare questa funzione. Potreste darmi un aiuto?
"peppuccio92":
Grazie mille ragazzi, ho risolto.
Ho scritto la funzione come mi avete detto e infatti può essere scritta, poi ho integrato e ho ottenuto:
$ w(f)=(4abe)/(1+4pi^2f^2a^2) $
Come eri giunto a questo risultato? Prova a postare il procedimento: forse non eri così lontano dalla soluzione...
Credo di essere giunto alla soluzione.
Invece di considerare il segnale come :
$ w(t) = sign(t)*b*e^(-|t|/a+1) $
ho considerato il segnale che ho nominato $h(t)$
$ h(t) = b*e^(-t/a+1)*u(t) $
e ho scritto che:
$ w(t) = h(t) - h(-t) $
in questo modo posso calcolare:
$ F[w(t)](f) = F[h(t)](f) - F[h(-t)](f) $
Ottenendo così:
$ W(f) = H(f) - H(-f) $
dove $ H(f) = (bea)/ (1+j2pifa) $
dunque:
$ W(f) = (bea(-4jpifa))/ (1+4pi^2f^2a^2) $
Invece di considerare il segnale come :
$ w(t) = sign(t)*b*e^(-|t|/a+1) $
ho considerato il segnale che ho nominato $h(t)$
$ h(t) = b*e^(-t/a+1)*u(t) $
e ho scritto che:
$ w(t) = h(t) - h(-t) $
in questo modo posso calcolare:
$ F[w(t)](f) = F[h(t)](f) - F[h(-t)](f) $
Ottenendo così:
$ W(f) = H(f) - H(-f) $
dove $ H(f) = (bea)/ (1+j2pifa) $
dunque:
$ W(f) = (bea(-4jpifa))/ (1+4pi^2f^2a^2) $
si sembra giusto
Anche a me.
Grazie tante a tutti per i consigli!!!
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