Teoria dei Segnali - Proprietà della delta
Salve a tutti! 
Ho un segnale $ x(t)=cos(3pit)$*$delta(t-2) + sin(pit/10)delta(t-5) $
Utilizzando le proprietà della delta, valuto il segnale:
$ x(t)=cos(3pi(t-2))+sin(-pi/2) $
E' corretto?
Grazie
Ho un segnale $ x(t)=cos(3pit)$*$delta(t-2) + sin(pit/10)delta(t-5) $
Utilizzando le proprietà della delta, valuto il segnale:
$ x(t)=cos(3pi(t-2))+sin(-pi/2) $
E' corretto?
Grazie
Risposte
La proprietà della delta si scrive come
[tex]$\int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\delta(x-a)\ dx=f(a)[/tex],
dunque, ai fini del calcolo dell'integrale, non è corretto sostituire [tex]\sin(\pi t/10)\delta(t-5)[/tex] con [tex]\sin(-\pi/2)[/tex].
[tex]$\int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\delta(x-a)\ dx=f(a)[/tex],
dunque, ai fini del calcolo dell'integrale, non è corretto sostituire [tex]\sin(\pi t/10)\delta(t-5)[/tex] con [tex]\sin(-\pi/2)[/tex].
Ok ma io qua non ho l'integrale. Non dovrei valutare il seno nell'istante di applicazione della delta, cioè in t=5?
"leper":
Ok ma io qua non ho l'integrale. Non dovrei valutare il seno nell'istante di applicazione della delta, cioè in t=5?
Il che farebbe [tex]\sin(\pi/2)[/tex] e non [tex]\sin(-\pi/2)[/tex], comunque non è questo il punto. La [tex]\delta[/tex] non è una funzione, serve a soddisfare quell'integrale che ho scritto, e questo sempre, anche se non lo scrivi esplicitamente.
Dunque se tu sostituisci a [tex]\sin(\pi t/10)\delta(t-5)[/tex] il valore [tex]\sin(\pi/2)[/tex] non è corretto, perché
[tex]$\int_{-\infty}^{+\infty} \sin(\pi t/10)\delta(t-5)\ dt \ne \int_{-\infty}^{+\infty} \sin(\pi/2)\ dt[/tex]
Quindi come dovrei fare?
Se ci pensi un attimo non è difficile: devi far tornare l'uguaglianza tra i due integrali, cioè in [tex]$t=5$[/tex] devi avere un impulso di area [tex]\sin(\pi/2)=1[/tex].
$ sin(pi/2)delta(t-5) $ ?
"leper":
$ sin(pi/2)delta(t-5) $ ?
esatto. Nota che non solo non sarebbe tornato l'integrale, ma neanche la trasformata di Fourier.
in che senso?
"leper":
in che senso?
nel senso che la trasformata di [tex]\sin(\pi/2)[/tex] è diversa dalla trasformata di [tex]\sin(\pi/2)\delta(t-5)[/tex].
Ok.
Ma per calcolare la trasformata dovrei fare la convoluzione delle trasformate dei due segnali?
Ma per calcolare la trasformata dovrei fare la convoluzione delle trasformate dei due segnali?
"leper":
Ok.
Ma per calcolare la trasformata dovrei fare la convoluzione delle trasformate dei due segnali?
Più semplicemente, è la trasformata di una [tex]\delta[/tex] ritardata e scalata (peraltro, di un fattore 1).
ritardata di 5 e scalata di 1, dato che $ sen(pi/2) = 1 $
Giusto?
Giusto?
"leper":
ritardata di 5 e scalata di 1, dato che $ sen(pi/2) = 1 $
Giusto?
giusto
Grazie mille!
Sei stato davvero chiaro e cortese. Ti auguro una buona giornata!
Sei stato davvero chiaro e cortese. Ti auguro una buona giornata!
Mi è capitato un altro esercizio interessante:
$ x(t)=int_(-3pi)^(3pi) e^(-2r)delta(r-2pi)dr $
Come ragiono in questo caso? Considero $r=2pi$ come istante di applicazione della $delta$?
$ x(t)=int_(-3pi)^(3pi) e^(-2r)delta(r-2pi)dr $
Come ragiono in questo caso? Considero $r=2pi$ come istante di applicazione della $delta$?
"leper":
Mi è capitato un altro esercizio interessante:
$ x(t)=int_(-3pi)^(3pi) e^(-2r)delta(r-2pi)dr $
Come ragiono in questo caso? Considero $r=2pi$ come istante di applicazione della $delta$?
sì
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