[Teoria dei segnali] Problemino con una convoluzione
Ciao ragazzi,
torno su questo forum dopo un bel pò di tempo... ho un problema con un esercizio di teoria dei segnali, il testo è questo:
Calcolare e rappesentare $z(t) = x(t) \otimes y(t)$ con $x(t) = e^(-t/T)u(t)$ e $y(t) = rect((t-T/2)/T)$
(con $u(t)$ intendo il gradino unitario)
non sono molto ferrato con queste cose, quindi volevo chiedervi se potete spiegarmi come si risolve questa convoluzione... Io l'ho impostata, ho ridotto gli estremi dell'integrale di convoluzione tra 0 e più infinito togliendo il gradino a moltiplicare, però sono fermo a questo integrale:
$\int_0^(+\infty)e^(-\tau/T)*rect((t-\tau-T/2)/T)d\tau$
....che non so risolvere....
Potete darmi una mano?
Vi ringrazio!
EDIT: mi sovviene in questo momento una cosina chiamata trasformata di fourier....... che servirà a qualcosa se l'hanno inventata, no?
Ora la faccio con fourier, però per curiosità come si poteva risolvere quell'integrale nel tempo?
torno su questo forum dopo un bel pò di tempo... ho un problema con un esercizio di teoria dei segnali, il testo è questo:
Calcolare e rappesentare $z(t) = x(t) \otimes y(t)$ con $x(t) = e^(-t/T)u(t)$ e $y(t) = rect((t-T/2)/T)$
(con $u(t)$ intendo il gradino unitario)
non sono molto ferrato con queste cose, quindi volevo chiedervi se potete spiegarmi come si risolve questa convoluzione... Io l'ho impostata, ho ridotto gli estremi dell'integrale di convoluzione tra 0 e più infinito togliendo il gradino a moltiplicare, però sono fermo a questo integrale:
$\int_0^(+\infty)e^(-\tau/T)*rect((t-\tau-T/2)/T)d\tau$
....che non so risolvere....
Potete darmi una mano?
Vi ringrazio!
EDIT: mi sovviene in questo momento una cosina chiamata trasformata di fourier....... che servirà a qualcosa se l'hanno inventata, no?
Ora la faccio con fourier, però per curiosità come si poteva risolvere quell'integrale nel tempo?
Risposte
Ok. Adesso ti basta notare che la funzione [tex]\text{rect}\left(\frac{-\tau+t-\frac{T}{2}}{T}\right)[/tex] è un rettangolo centrato in [tex]-\tau=-t+\frac{T}{2}[/tex] e durata [tex]T[/tex], ovvero è una costante unitaria tra [tex]-\tau=-t[/tex] e [tex]-\tau=-t+T[/tex]
ok... ed a questo punto? posso scrivere $int_-t^(-t+T) e^(-\tau/T)d\tau$ e dunque $int_0^T e^(-\tau/T)d\tau$ ?
invece facendolo in frequenza sono arrivato a trovare $Z(f)$, ma non so antitrasformarlo... Questa è la trasformata che ho trovato...
$Z(f) = (Tsinc(Tf)e^(-jpifT/2))/(1/T + j2pif)$
potete darmi una dritta su come antitrasformare?
grazie della risposta
invece facendolo in frequenza sono arrivato a trovare $Z(f)$, ma non so antitrasformarlo... Questa è la trasformata che ho trovato...
$Z(f) = (Tsinc(Tf)e^(-jpifT/2))/(1/T + j2pif)$
potete darmi una dritta su come antitrasformare?
grazie della risposta
Avendo più tempo, completo la mia risposta.
Innanzitutto ti conviene cercare di farlo senza utilizzare la trasformata di Fourier, dal momento che ti viene chiesta anche una rappresentazione. Prima cosa ti conviene capire dove la funzione rect è compresa, e questo puoi capirlo dalla definizione:
[tex]\text{rect}(t)=
\begin{cases}
1&\text{se }|t|<\frac{1}{2}\\
0&\text{altrove}
\end{cases}[/tex]
Di conseguenza, nel tuo caso, gli estremi del rettangolo li determini imponendo [tex]|\frac{-\tau+t-\frac{T}{2}}{T}|<\frac{1}{2}[/tex], ovvero (se fai i conti) per [tex]t-T<\tauT[/tex] (per la presenza dello scalino [tex]u(\tau)[/tex] che implica [tex]\tau>0[/tex]).
Un altro modo di procedere è quello di calcolare la convoluzione utilizzando il seguente integrale (invertendo le due funzioni interne):
[tex]\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}x(t-\tau)y(\tau)d\tau[/tex]
ovvero
[tex]\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-\frac{t-\tau}{T}}u(t-\tau)\text{rect}\left(\frac{\tau-\frac{T}{2}}{T}\right)d\tau=\int_{0}^{T}e^{-\frac{t-\tau}{T}}u(t-\tau)d\tau=\int_{t-T}^{t}e^{-\frac{y}{T}}dy[/tex]
avendo sostituito [tex]y=t-\tau[/tex], sempre sotto l'ipotesi [tex]t>T[/tex]. Forse questo è il modo più semplice per ottenere il risultato.
Poi ci sono altri due metodi, che sono rispettivamente quello grafico e la trasformata di Fourier.
Il primo consiste nel disegnare una funzione (supponiamo l'esponenziale) e mantenerla fissa sul foglio. Disegnare l'altra (la [tex]\text{rect}(\tau)[/tex]), ribaltarla (ovvero ottenere la [tex]\text{rect}(-\tau)[/tex]) e poi traslare verso destra tale funzione fin quando essa non si sovrappone all'esponenziale, ottenendo un prodotto non nullo (lo spostamento sarà funzione di [tex]t[/tex], in pratica per via grafica stai ottenendo [tex]\text{rect}(t-\tau)[/tex]). Questo metodo è molto bello e semplice, magari sarebbe molto più chiaro se fatto direttamente per via grafica e non scritto a parole
.
La trasformata di Fourier per il momento la lascerei perdere (comunque in molti casi può essere un'ottima alternativa).
Innanzitutto ti conviene cercare di farlo senza utilizzare la trasformata di Fourier, dal momento che ti viene chiesta anche una rappresentazione. Prima cosa ti conviene capire dove la funzione rect è compresa, e questo puoi capirlo dalla definizione:
[tex]\text{rect}(t)=
\begin{cases}
1&\text{se }|t|<\frac{1}{2}\\
0&\text{altrove}
\end{cases}[/tex]
Di conseguenza, nel tuo caso, gli estremi del rettangolo li determini imponendo [tex]|\frac{-\tau+t-\frac{T}{2}}{T}|<\frac{1}{2}[/tex], ovvero (se fai i conti) per [tex]t-T<\tau
Un altro modo di procedere è quello di calcolare la convoluzione utilizzando il seguente integrale (invertendo le due funzioni interne):
[tex]\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}x(t-\tau)y(\tau)d\tau[/tex]
ovvero
[tex]\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-\frac{t-\tau}{T}}u(t-\tau)\text{rect}\left(\frac{\tau-\frac{T}{2}}{T}\right)d\tau=\int_{0}^{T}e^{-\frac{t-\tau}{T}}u(t-\tau)d\tau=\int_{t-T}^{t}e^{-\frac{y}{T}}dy[/tex]
avendo sostituito [tex]y=t-\tau[/tex], sempre sotto l'ipotesi [tex]t>T[/tex]. Forse questo è il modo più semplice per ottenere il risultato.
Poi ci sono altri due metodi, che sono rispettivamente quello grafico e la trasformata di Fourier.
Il primo consiste nel disegnare una funzione (supponiamo l'esponenziale) e mantenerla fissa sul foglio. Disegnare l'altra (la [tex]\text{rect}(\tau)[/tex]), ribaltarla (ovvero ottenere la [tex]\text{rect}(-\tau)[/tex]) e poi traslare verso destra tale funzione fin quando essa non si sovrappone all'esponenziale, ottenendo un prodotto non nullo (lo spostamento sarà funzione di [tex]t[/tex], in pratica per via grafica stai ottenendo [tex]\text{rect}(t-\tau)[/tex]). Questo metodo è molto bello e semplice, magari sarebbe molto più chiaro se fatto direttamente per via grafica e non scritto a parole
.La trasformata di Fourier per il momento la lascerei perdere (comunque in molti casi può essere un'ottima alternativa).
ti ringrazio molto per la chiarezza e per la disponibilità....
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