[Teoria dei Segnali] Problema con convoluzione
Salve a tutti. Ho dei problemi con una convoluzione di tra due sinc. Mi spiego meglio:
Stavo svolgendo un esercizio dove ho un segnale $x(t)=rep_1[x_g(t)]$ dove il segnale generatore mi è dato dal suo grafico:
Il segnale generatore può essere scritto come: $x_g(t)=\Lambda(t)rect(t-1/2)$
Mi viene chiesto di determinare la trasformata e la sua trasformata di Fourier è:
$X(f)=sinc^2(f)ox sinc(f)e^(-j\pif)$
Ora il mio problema sta nel valutarne i coefficienti della serie di Fourier.
Io so che ad una replicazione nel tempo corrisponde un campionamento in frequenza ed i coefficienti della serie di fourier di $x$ sono dati dalla relazione $X(f)=1/TX_g(k/T)$.
Ora siete d'accordo con me che le due sinc si possono convolvere solo nel valore per $k=0$ ?
La funzione sinc si annulla in tutti i valori interi k tranne in k=0 quindi in corrispondenza di quel valore la convoluzione vale 1 e quindi ho che la trasformata dell segnale $x(t)$ è un adelta di dirac cioè $X(f)=\delta(f)$ giusto?
Se cosi fosse allora vuol dire che se torno nel dominio del tempo dovrei riottenere il segnale di partenza e cosi non si verifica. Dove sbaglio? Grazie per l'aiuto in anticipo
Stavo svolgendo un esercizio dove ho un segnale $x(t)=rep_1[x_g(t)]$ dove il segnale generatore mi è dato dal suo grafico:
Il segnale generatore può essere scritto come: $x_g(t)=\Lambda(t)rect(t-1/2)$
Mi viene chiesto di determinare la trasformata e la sua trasformata di Fourier è:
$X(f)=sinc^2(f)ox sinc(f)e^(-j\pif)$
Ora il mio problema sta nel valutarne i coefficienti della serie di Fourier.
Io so che ad una replicazione nel tempo corrisponde un campionamento in frequenza ed i coefficienti della serie di fourier di $x$ sono dati dalla relazione $X(f)=1/TX_g(k/T)$.
Ora siete d'accordo con me che le due sinc si possono convolvere solo nel valore per $k=0$ ?
La funzione sinc si annulla in tutti i valori interi k tranne in k=0 quindi in corrispondenza di quel valore la convoluzione vale 1 e quindi ho che la trasformata dell segnale $x(t)$ è un adelta di dirac cioè $X(f)=\delta(f)$ giusto?
Se cosi fosse allora vuol dire che se torno nel dominio del tempo dovrei riottenere il segnale di partenza e cosi non si verifica. Dove sbaglio? Grazie per l'aiuto in anticipo
Risposte
Nessuno sa aiutarmi
Ciao,
Cerco di darti qualche dritta...
Per prima cosa ricordati che se hai una convoluzione: $h(t) = f(t) \ast g(t)$ allora $h(t_0) \ne f(t_0) \ast g(t_0)$ ma è $h(t_0)=f(t) \ast g(t) |_{t_0}$, ovvero devi prima calcolare la convoluzione, e POI fare la sostituzione!
Un suggerimento: La prima cosa che mi viene da pensare quando vedo una convoluzione tra un sinc^2 e un sinc è davvero molto brutta...e non credo di avere una gran voglia di mettermi li a calcolarne il risultato (ammesso che si possa trovare).
Piuttosto questo mi suggerisce una idea....provato ad applicare la definizione di trasformata di Fourier?
$X(f)=\int_{-\infty}^{\infty} f(t)e^{-j2\pi ft}dt$
Nel tuo caso puoi parametrizzare la funzione come $1 - t$ ad esempio....
Cerco di darti qualche dritta...
Per prima cosa ricordati che se hai una convoluzione: $h(t) = f(t) \ast g(t)$ allora $h(t_0) \ne f(t_0) \ast g(t_0)$ ma è $h(t_0)=f(t) \ast g(t) |_{t_0}$, ovvero devi prima calcolare la convoluzione, e POI fare la sostituzione!
Un suggerimento: La prima cosa che mi viene da pensare quando vedo una convoluzione tra un sinc^2 e un sinc è davvero molto brutta...e non credo di avere una gran voglia di mettermi li a calcolarne il risultato (ammesso che si possa trovare).
Piuttosto questo mi suggerisce una idea....provato ad applicare la definizione di trasformata di Fourier?
$X(f)=\int_{-\infty}^{\infty} f(t)e^{-j2\pi ft}dt$
Nel tuo caso puoi parametrizzare la funzione come $1 - t$ ad esempio....
Ciao. Anzitutto grazie per la risposta non ci speravo più ormai. La tua risposta mi da speranza perchè significa che il procedimento è giusto almeno fino a quel punto 
. In realtà ho avuto una mezza idea e cioè quella di applicare la definizione di $X_k$ per calcolare i coefficienti di Fourier ma arrivo ad un punto morto oltre al fatto che escono una marea di calcoli. Se applico la definizione di trasformata credo di ottenere la stessa cosa ma ho un dubbio sugli estremi di integrazione. Nel momento in cui applico la definizione allora per far scomparire quella rect devo mettere gli estremi di integrazione compresi in quella rect giusto? Perchè quando applico la definizione dei coefficienti di Fourier io l'integrale lo estendo ad un periodo della funzione e quindi mi vengono una marea di calcoli come ti ho gia detto cosi invece dovrebbero semplificarsi di molto ma la domanda è: è giusto come ragionamento? GRazie mille ancora
. In realtà ho avuto una mezza idea e cioè quella di applicare la definizione di $X_k$ per calcolare i coefficienti di Fourier ma arrivo ad un punto morto oltre al fatto che escono una marea di calcoli. Se applico la definizione di trasformata credo di ottenere la stessa cosa ma ho un dubbio sugli estremi di integrazione. Nel momento in cui applico la definizione allora per far scomparire quella rect devo mettere gli estremi di integrazione compresi in quella rect giusto? Perchè quando applico la definizione dei coefficienti di Fourier io l'integrale lo estendo ad un periodo della funzione e quindi mi vengono una marea di calcoli come ti ho gia detto cosi invece dovrebbero semplificarsi di molto ma la domanda è: è giusto come ragionamento? GRazie mille ancora
Anzi ora che ci penso il mio segnale generatore è pari quindi posso applicare la definizione per i coefficienti di Fourier per un segnale pari e mi verrebbe:
$X_k=1/1 int_(-1/2)^(1/2) \Lambda(t)rect(t-1/2)cos(2\pikt) dt $
Giusto?
Ora non ne sono sicuro del risultato provo a svolgerlo un attimo. Sono giusti gli estremi di integrazione?
$X_k=1/1 int_(-1/2)^(1/2) \Lambda(t)rect(t-1/2)cos(2\pikt) dt $
Giusto?
Ora non ne sono sicuro del risultato provo a svolgerlo un attimo. Sono giusti gli estremi di integrazione?
A quanto pare non è un caso isolato. Al mio prof piace proprio metterci nei casini. Ho quest'altro esercizio:
$x(t)=(t+1)rect(t/2)+2u(t-1)$
e devo calcolare la $X(f)$.
Io ho ragionato in questo modo: mi sono disegnato il segnale ed ho ottenuto che lo si può scrivere come
$x(t)=\Lambda((t-1)/2)rect(t/2)+2u(t-1)$
Ed anche qui mi ritrovo a dover calcolare la convoluzione tra due sinc. Qualcuno mi aiuta per favore?
$x(t)=(t+1)rect(t/2)+2u(t-1)$
e devo calcolare la $X(f)$.
Io ho ragionato in questo modo: mi sono disegnato il segnale ed ho ottenuto che lo si può scrivere come
$x(t)=\Lambda((t-1)/2)rect(t/2)+2u(t-1)$
Ed anche qui mi ritrovo a dover calcolare la convoluzione tra due sinc. Qualcuno mi aiuta per favore?
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo