[Teoria dei Segnali] Funzione di autocorrelazione
Salve a tutti ragazzi, vi posto qui un nuovo esercizio che purtroppo, arrivato a un certo punto, non riesco a risolvere...
Praticamente mi ritrovo con la densità di probabilità di un processo:
$p_x(a)=\frac{1}{15}tri(\frac{a}{15})$
e la sua funzione di autocorrelazione:
$R_x(t)=K \cdot sinc(10t)$ e mi si chiede di calcolare K.
Come la calcolo?
Mi è venuto in mente che $R_x(0)=E_x$ ma non credo sia la strada giusta... avrei $E_x=K$..
Grazie mille
Praticamente mi ritrovo con la densità di probabilità di un processo:
$p_x(a)=\frac{1}{15}tri(\frac{a}{15})$
e la sua funzione di autocorrelazione:
$R_x(t)=K \cdot sinc(10t)$ e mi si chiede di calcolare K.
Come la calcolo?
Mi è venuto in mente che $R_x(0)=E_x$ ma non credo sia la strada giusta... avrei $E_x=K$..
Grazie mille
Risposte
Perché dici che $R_x(0) = E_x$? Pensa a come è definita $R_x(\tau)$ per un processo stazionario:
\(\displaystyle R_x(\tau) = E[X(t)X(t+\tau)] \)
quindi
$K = R_x(0) = E[X^2(t)] = E[(X(t)-E_x)^2] + E_x^2 = \sigma_x^2 + E_x^2$
\(\displaystyle R_x(\tau) = E[X(t)X(t+\tau)] \)
quindi
$K = R_x(0) = E[X^2(t)] = E[(X(t)-E_x)^2] + E_x^2 = \sigma_x^2 + E_x^2$
mi è venuto in mente che per trovare $K$ potrei calcolare dalla funzione di autocorrelazione lo spettro di densità e da li il suo integrale deve essere uguale a $1$. Così va bene?
Se avessi letto quello che ho scritto sopra vedresti che ti ho suggerito la soluzione: ti basta calcolare $E_x$ e $\sigma_x^2$
Scusami, volevo dire se il fatto di calcolare lo spettro di densità di potenza porre il suo integrale uguale a $1$ potrebbe andare o ho detto qualcosa di sbagliato.
Comunque mi hai detto di calcolare la varianza e l'energia del segnale (la quale non saprei come trovare) per trovare questa costante, ma mi hai anche scritto che:
$K=R_x(0)=E[X^2(t)]$
intendi che $K$ uguale al valor quadratico medio? In tal caso lo potrei calcolare dalla densità di probabilità, o sbaglio?
Grazie!
Comunque mi hai detto di calcolare la varianza e l'energia del segnale (la quale non saprei come trovare) per trovare questa costante, ma mi hai anche scritto che:
$K=R_x(0)=E[X^2(t)]$
intendi che $K$ uguale al valor quadratico medio? In tal caso lo potrei calcolare dalla densità di probabilità, o sbaglio?
Grazie!
No con $E_x$ intendo il valor medio di $X$: $E_x = E[X(t)]$, scusa se ti ho cambiato la notazione.
Si, ovviamente trovi $E[X(t)]$ e la varianza dalla $p_x(a)$. Oppure calcoli direttamente $E[X^2(t)]$, a te la scelta.
L'integrale dello spettro non fa $1$ ma $R_x(0)=K$. E' la $p_x$ che integrata fa $1$.
Si, ovviamente trovi $E[X(t)]$ e la varianza dalla $p_x(a)$. Oppure calcoli direttamente $E[X^2(t)]$, a te la scelta.
L'integrale dello spettro non fa $1$ ma $R_x(0)=K$. E' la $p_x$ che integrata fa $1$.
ok! Grazie quindi praticamente:
$K=E[X^2(t)]=2 \int_0^15\frac{1}{15} tri(\frac{a}{15})a^2da$ e facendo i conti ottengo $K=25$
$K=E[X^2(t)]=2 \int_0^15\frac{1}{15} tri(\frac{a}{15})a^2da$ e facendo i conti ottengo $K=25$
Ok (non controllo i conti).
Ok finalmente ho capito, andando un attimo O.T. per non riaprire un nuovo post, se questo processo (di cui abbiamo densità di probabilità e funzione di autocorrelazione) passa in un filtro con risposta $h(t)=10sinc(10t)$ come faccio a sapere la potenza in uscita?
Puoi agire in due modi:
- calcolare l'autocorrelazione del processo $Y(t)$ in uscita al filtro come ($\otimes$ indica la convoluzione)
\(\displaystyle R_{y}(\tau) = R_{h} \otimes R_x(\tau) \)
dove
\(\displaystyle R_h(\tau) = \int h(t) h (t+\tau)\text{d}t \)
e prendere $R_y(0)$
- calcolare lo spettro di $Y(t)$ tramite
\(\displaystyle S_y(f) = |H(f)|^2 \cdot S_x(f) \)
dove $H(f)$ è la funzione di trasferimento del filtro, e integrare $S_y$.
A te la scelta...
- calcolare l'autocorrelazione del processo $Y(t)$ in uscita al filtro come ($\otimes$ indica la convoluzione)
\(\displaystyle R_{y}(\tau) = R_{h} \otimes R_x(\tau) \)
dove
\(\displaystyle R_h(\tau) = \int h(t) h (t+\tau)\text{d}t \)
e prendere $R_y(0)$
- calcolare lo spettro di $Y(t)$ tramite
\(\displaystyle S_y(f) = |H(f)|^2 \cdot S_x(f) \)
dove $H(f)$ è la funzione di trasferimento del filtro, e integrare $S_y$.
A te la scelta...
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