[Teoria dei Segnali] Filtro non ideale
Negli esercizi svolti sino ad ora, i sistemi LTI hanno sempre assunto il ruolo di filtri ideali, facilmente diagrammabili o esprimibili in termini di finestre rettangolari.
In questo esercizio non è così:
Punto A
Considero il generatore $x_{g}(t) = e^{-2|t|}$ e lo trasformo $X_{g}(f) = 1/(1+\pi^2f^2)$
Trasformo poi la risposta impulsiva per ottenere la risposta in frequenza $H(f) = \frac{\alpha}{(\beta + j2\pi f)^2}$
Sfruttando il campionamento in frequenza ottengo $X_k = 1/T_0 X_{g}(kf_0)$ ma essendo il periodo del segnale unitario, ottengo $X_k = X_{g}(k) = 1/(1+\pi^2k^2)$
Punto B
L'uscita è la risposta di un sistema LTI a un segnale periodico.
$Y_k = H(kf_0)X_k = H(k)X_k$
Il mio scopo ora è quello di trovare, diagrammando la risposta in frequenza, tutti quei $k$ per cui l'ingresso "passa" attraverso il filtro.
Con un filtro ideale sarebbe stato immediato, qui ho invece una risposta in frequenza complessa, quindi me ne ricavo il modulo con alcuni semplici conti:
$|H(k)| = \frac{\alpha}{\beta^2 + 4\pi^2 k^2}$
Per diagrammarla basterebbe scegliere alcuni valori di $k$.
Il grafico assume una forma a campana e la risposta in frequenza non si annulla mai (il numeratore è sempre maggiore di zero, mai nullo).
Sono quindi tentato a dire che devo considerare tutti i valori di $k \in \mathbb{Z}$ e quindi scrivere l'uscita semplicemente come
$y(t) = \sum_{k = -\infty}^{+\infty} H(k)X_ke^{j2\pi f_0kt}$
Volevo però avere una vostra conferma, in quanto in tutti gli esercizi di questo tipo prima d'ora il filtro risultava ideale e quindi mi bastava scrivere l'uscita considerando solo alcuni coefficienti della serie di Fourier $Y_k$ poichè tutti gli altri sarebbero risultati nulli.
In questo esercizio non è così:
Punto A
Considero il generatore $x_{g}(t) = e^{-2|t|}$ e lo trasformo $X_{g}(f) = 1/(1+\pi^2f^2)$
Trasformo poi la risposta impulsiva per ottenere la risposta in frequenza $H(f) = \frac{\alpha}{(\beta + j2\pi f)^2}$
Sfruttando il campionamento in frequenza ottengo $X_k = 1/T_0 X_{g}(kf_0)$ ma essendo il periodo del segnale unitario, ottengo $X_k = X_{g}(k) = 1/(1+\pi^2k^2)$
Punto B
L'uscita è la risposta di un sistema LTI a un segnale periodico.
$Y_k = H(kf_0)X_k = H(k)X_k$
Il mio scopo ora è quello di trovare, diagrammando la risposta in frequenza, tutti quei $k$ per cui l'ingresso "passa" attraverso il filtro.
Con un filtro ideale sarebbe stato immediato, qui ho invece una risposta in frequenza complessa, quindi me ne ricavo il modulo con alcuni semplici conti:
$|H(k)| = \frac{\alpha}{\beta^2 + 4\pi^2 k^2}$
Per diagrammarla basterebbe scegliere alcuni valori di $k$.
Il grafico assume una forma a campana e la risposta in frequenza non si annulla mai (il numeratore è sempre maggiore di zero, mai nullo).
Sono quindi tentato a dire che devo considerare tutti i valori di $k \in \mathbb{Z}$ e quindi scrivere l'uscita semplicemente come
$y(t) = \sum_{k = -\infty}^{+\infty} H(k)X_ke^{j2\pi f_0kt}$
Volevo però avere una vostra conferma, in quanto in tutti gli esercizi di questo tipo prima d'ora il filtro risultava ideale e quindi mi bastava scrivere l'uscita considerando solo alcuni coefficienti della serie di Fourier $Y_k$ poichè tutti gli altri sarebbero risultati nulli.
Risposte
Si va bene.
L'espressione dell'uscita la puoi semplificare ancora, tieni conto che i valori sono reali (niente componente immaginaria). Somma il valore per n con quello per -n.
L'espressione dell'uscita la puoi semplificare ancora, tieni conto che i valori sono reali (niente componente immaginaria). Somma il valore per n con quello per -n.
Grazie!
Suppongo volessi dire $-k$ e $k$, ma non capisco cosa intendi
"Quinzio":
Somma il valore per n con quello per -n.
Suppongo volessi dire $-k$ e $k$, ma non capisco cosa intendi
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