[TEORIA DEI SEGNALI] Due domande Sulle Variabili aleatorie.
Buongiorno a tutti,
Scrivo per chiedere aiuto su due semplici problemi in cui mi sono imbattuto durante la conclusione di alcuni esercizi sulla Teoria delle probabilita'. Nello specifico sulle Variabili Aleatorie.
/* Problema 1: */
Sia Z variabile aleatoria, la cui PDF e':
$f_Z(z)={(0,if z<=0),((delta(z))/2,if z=0),((e^(-z/2))/(4sqrt(pi)),if z>=0):}$
Ne devo calcolare la Media statistica.
Siccome la media e' un operatore lineare, posso scrivere:
$eta_Z = int_{-infty}^{+infty} zf_Z(z) dz = int_{-infty}^{+infty} ( (delta(z))/2 + (e^(-z/2))/(4sqrt(pi)) u(z) )dz $
con
$int_{-infty}^{+infty} (e^(-z/2))/(4sqrt(pi)) u(z) dz = int_{0}^{+infty} (e^(-z/2))/(4sqrt(pi)) dz = 1/(4sqrt(pi)) int_{0}^{+infty}ze^(-z/2) dz = 1/(4sqrt(pi)) [-2ze^(-z/2) - 4e^(-z/2)]_0^(+infty) = 1/(4sqrt(pi)) [4] = 1/sqrt(pi)$
Riguardo il secondo addendo della funzione integranda
$int_{-infty}^{+infty} (delta(z))/2 dz $
Non so come comportarmi. Forse ci sara' qualche proprieta' che mi sfugge o semplicemente qualche artificio matematico che non ricordo, fattosta' che da qui non riesco a calcolare l'integrale.
/* Problema 2: */
Sia Y una variabile aleatoria, la cui PDF e':
$f_Y(y)={(f_X(-y),if y<=-2),((f_X(sqrt(y)))/(2sqrt(y)),if y>=4):}$
con X Variabile aleatoria Uniforme in [-10,10]
Per definizione, la PDF di una variabile aleatoria uniforme e' $ f_X(x)= 1/(b-a) rect((x-(b+a)/2)/(b-a))$ con $a
Il problema nasce nella semplice esplicitazione della PDF di Y. Dato che l'argomento della PDF di X in quei casi e' $-y$ e $sqrt(y)$, il valore della pdf sara' comunque pari all'altezza della rect(.) nell'intervallo? oppure devo trasformare l'intervallo in funzione dell'argomento della PDF?
es: $ f_X(-y) = 1/(10+10) ?$
Grazie in anticipo per le dritte.
Scrivo per chiedere aiuto su due semplici problemi in cui mi sono imbattuto durante la conclusione di alcuni esercizi sulla Teoria delle probabilita'. Nello specifico sulle Variabili Aleatorie.
/* Problema 1: */
Sia Z variabile aleatoria, la cui PDF e':
$f_Z(z)={(0,if z<=0),((delta(z))/2,if z=0),((e^(-z/2))/(4sqrt(pi)),if z>=0):}$
Ne devo calcolare la Media statistica.
Siccome la media e' un operatore lineare, posso scrivere:
$eta_Z = int_{-infty}^{+infty} zf_Z(z) dz = int_{-infty}^{+infty} ( (delta(z))/2 + (e^(-z/2))/(4sqrt(pi)) u(z) )dz $
con
$int_{-infty}^{+infty} (e^(-z/2))/(4sqrt(pi)) u(z) dz = int_{0}^{+infty} (e^(-z/2))/(4sqrt(pi)) dz = 1/(4sqrt(pi)) int_{0}^{+infty}ze^(-z/2) dz = 1/(4sqrt(pi)) [-2ze^(-z/2) - 4e^(-z/2)]_0^(+infty) = 1/(4sqrt(pi)) [4] = 1/sqrt(pi)$
Riguardo il secondo addendo della funzione integranda
$int_{-infty}^{+infty} (delta(z))/2 dz $
Non so come comportarmi. Forse ci sara' qualche proprieta' che mi sfugge o semplicemente qualche artificio matematico che non ricordo, fattosta' che da qui non riesco a calcolare l'integrale.
/* Problema 2: */
Sia Y una variabile aleatoria, la cui PDF e':
$f_Y(y)={(f_X(-y),if y<=-2),((f_X(sqrt(y)))/(2sqrt(y)),if y>=4):}$
con X Variabile aleatoria Uniforme in [-10,10]
Per definizione, la PDF di una variabile aleatoria uniforme e' $ f_X(x)= 1/(b-a) rect((x-(b+a)/2)/(b-a))$ con $a
Il problema nasce nella semplice esplicitazione della PDF di Y. Dato che l'argomento della PDF di X in quei casi e' $-y$ e $sqrt(y)$, il valore della pdf sara' comunque pari all'altezza della rect(.) nell'intervallo? oppure devo trasformare l'intervallo in funzione dell'argomento della PDF?
es: $ f_X(-y) = 1/(10+10) ?$
Grazie in anticipo per le dritte.
Risposte
Nel primo esercizio hai tralasciato qualche $z$ che poi hai rimesso, attenzione a quello che scrivi, infatti nell'integrale con la $delta$ ti manca la $z$ a moltiplicare, che puoi sfruttare per la proprietà campionatrice.
Nel secondo l'altezza sarà quella della $rect()$ ma occhio agli intervalli ovviamente (non ho fatto i conti comunque in generale devi fare così).
Nel secondo l'altezza sarà quella della $rect()$ ma occhio agli intervalli ovviamente (non ho fatto i conti comunque in generale devi fare così).
Grazie per l'appunto Blackorgasm. quella svista mi e' costata parecchi minuti di tentativi 
Quindi, dovrebbe risultare: $zdelta(z)=0$.
Per il secondo esercizio, gli intervalli da considerarsi sono, ad esempio:
$f_X(-y)=1/(20)$ per $ -10<-y<10 ? $
Quindi, dovrebbe risultare: $zdelta(z)=0$.
Per il secondo esercizio, gli intervalli da considerarsi sono, ad esempio:
$f_X(-y)=1/(20)$ per $ -10<-y<10 ? $
per $delta$ ok
l'altro si dovrebbe essere giusto (comunque se puoi confronta i risultati con qualcuno). A quel punto basta che cambi verso per togliere il $-$ alla $y$.
l'altro si dovrebbe essere giusto (comunque se puoi confronta i risultati con qualcuno). A quel punto basta che cambi verso per togliere il $-$ alla $y$.
Lo farò sicuramente. Grazie BlackOrgasm
figurati è un piacere 
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