[Teoria dei segnali] Distorsione di fase
Allora, vorrei dimostrare una cosa abbastanza ovvia, cioè,che se un sistema LTI ha una risposta in fase costante, allora genera una distorsione di fase (per non generarla, dovrebbe essere invece una funzione lineare)
Solo che mi sembra di sbagliare qualche ragionamento...
Io ho iniziato così
Supposto che si voglia ottenere un'uscita del tipo
[tex]$y(t) = Kx(t-t_0)$[/tex]
e la fdt è un generico numero complesso z (che in particolare, ha non solo fase costante, ma anche ampiezza costante), allora, facendo la antitrasformata (e qui potrei ottenere il primo strafalcione) si ottiene
[tex]$h(t) = z\delta(t)$[/tex]
quindi, facendo la convoluzione con x(t) (e potrebbe essere il secondo strafalcione)
[tex]$$y(t) = x(t) * h(t) = \int_{-\infty}^{\infty} x(\tau)z\delta(t-\tau) d\tau = zx(t)$$[/tex]
Ora, a parte il fatto che non riesco a trovare molto senso (trovo in'uscita un numero complesso, embè?), non riesco a trovare l'errore nella dimostrazione che c'è sicuramente, che poi, dimostrazione, non ho concluso proprio nulla. Inoltre ho fatto l'ipotesi molto limitativa che l'ampiezza della fdt sia costante. Mi potete aiutare?
Solo che mi sembra di sbagliare qualche ragionamento...
Io ho iniziato così
Supposto che si voglia ottenere un'uscita del tipo
[tex]$y(t) = Kx(t-t_0)$[/tex]
e la fdt è un generico numero complesso z (che in particolare, ha non solo fase costante, ma anche ampiezza costante), allora, facendo la antitrasformata (e qui potrei ottenere il primo strafalcione) si ottiene
[tex]$h(t) = z\delta(t)$[/tex]
quindi, facendo la convoluzione con x(t) (e potrebbe essere il secondo strafalcione)
[tex]$$y(t) = x(t) * h(t) = \int_{-\infty}^{\infty} x(\tau)z\delta(t-\tau) d\tau = zx(t)$$[/tex]
Ora, a parte il fatto che non riesco a trovare molto senso (trovo in'uscita un numero complesso, embè?), non riesco a trovare l'errore nella dimostrazione che c'è sicuramente, che poi, dimostrazione, non ho concluso proprio nulla. Inoltre ho fatto l'ipotesi molto limitativa che l'ampiezza della fdt sia costante. Mi potete aiutare?
Risposte
il primo strafalcione è immediatamente verificato
prendi infatti k/(a + b*i) forma in cui puoi portare ogni numero complesso, hai che (k a b appartenenti ad R) l'antitrasformata di laplace è un esponenziale di esponente
-(a*t)/b
con variabile
prendi infatti k/(a + b*i) forma in cui puoi portare ogni numero complesso, hai che (k a b appartenenti ad R) l'antitrasformata di laplace è un esponenziale di esponente
-(a*t)/b
con variabile
Scusami, ma mi sfugge questa antitrasformazione. Potresti illustrarmela? Fino a condurre il numero complesso in quella forma ci sono.
Ah, e comunque vorrei vederla con la trasformata di Fourier, più che di Laplace, ma va bene lo stesso
Ma quell'antitrasformata non è quella della fdt
[tex]$\frac{a}{a+bs}$[/tex]
Ah, e comunque vorrei vederla con la trasformata di Fourier, più che di Laplace, ma va bene lo stesso
Ma quell'antitrasformata non è quella della fdt
[tex]$\frac{a}{a+bs}$[/tex]
si infatti scusami sono un grosso imbecille, quel passaggio va bene
Non capisco. Ti sei portato un numero complesso nel dominio del tempo, cioè questa cosa
[tex]h(t)=z\delta(t)[/tex]
con [tex]z\in C[/tex] non ha significato fisico. Invece, supponendo che la fdt del sistema sia
[tex]H(s)=Ae^{-t_0 s}[/tex]
ed antitrasformando si ottiene:
[tex]h(t)=A\delta(t-t_0)[/tex]
,ovvero
[tex]y(t)=\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}x(\tau)h(t-\tau)\text{d}\tau=A\int_{-\infty}^{+\infty}x(\tau)\delta(t-t_0-\tau)\text{d}\tau=[/tex]
[tex]\displaystyle=A\int_{-\infty}^{+\infty}x(\tau)\delta(\tau-(t-t_0))\text{d}\tau=Ax(t-t_0)[/tex]
che mi sembra fosse quello che volevi dimostrare.
[tex]h(t)=z\delta(t)[/tex]
con [tex]z\in C[/tex] non ha significato fisico. Invece, supponendo che la fdt del sistema sia
[tex]H(s)=Ae^{-t_0 s}[/tex]
ed antitrasformando si ottiene:
[tex]h(t)=A\delta(t-t_0)[/tex]
,ovvero
[tex]y(t)=\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}x(\tau)h(t-\tau)\text{d}\tau=A\int_{-\infty}^{+\infty}x(\tau)\delta(t-t_0-\tau)\text{d}\tau=[/tex]
[tex]\displaystyle=A\int_{-\infty}^{+\infty}x(\tau)\delta(\tau-(t-t_0))\text{d}\tau=Ax(t-t_0)[/tex]
che mi sembra fosse quello che volevi dimostrare.
".Non è possibile, perché se devi ottenere una tf non lineare in fase non puoi avere una $delta$ che, al contrario, rappresenta proprio il caso lineare in fase.hoenix:.":
e la fdt è un generico numero complesso z (che in particolare, ha non solo fase costante, ma anche ampiezza costante), allora, facendo la antitrasformata (e qui potrei ottenere il primo strafalcione) si ottiene
[tex]$h(t) = z\delta(t)$[/tex]
Dunque avrai
$z=Ae^(jPhi)$
$h(t)=1/(2pi)intAe^(jPhi)e^(j2pift)df$ che non dà una $delta$ di Dirac come risultato
"K.Lomax":
Non capisco. Ti sei portato un numero complesso nel dominio del tempo, cioè questa cosa
[tex]h(t)=z\delta(t)[/tex]
con [tex]z\in C[/tex] non ha significato fisico. Invece, supponendo che la fdt del sistema sia
[tex]H(s)=Ae^{-t_0 s}[/tex]
Aspetta. E' vero, non era di certo l'esempio migliore il numero complesso costante, tuttavia dovevo trovare una funzione che abbia fase costante, non dir proporzionale alla frequenza. Quindi, avevo pensato ad un semplice numero complesso che ha sia fase che ampiezza costante.
Quello che io intendo dimostrare è che se la risposta in fase del sistema è COSTANTE, e non lineare, allora si ottiene distorsione di fase, cioè, NON si ottiene un ritardo costante nel tempo in uscita.
"raff5184":
Dunque avrai
z=AejΦ
h(t)=12π∫AejΦej2πftdf che non dà una δ di Dirac come risultato
Quindi è sufficiente dire questo per dire che si ottiene distorsione di fase? Però aspetta, un conto è dire che non si ottiene distorsione di fase con una delta di dirac, e un altro è dire che TUTTE le risposte in fase devono avere la forma di una delta di dirac per non avere distorsione di fase (poi, comunque, lo so che è vero, è un'ovvietà). Io voglio dimostrarlo guardando il risultato sull'uscita.
".
[quote="raff5184"]
Dunque avrai
z=AejΦ
h(t)=12π∫AejΦej2πftdf che non dà una δ di Dirac come risultato
Quindi è sufficiente dire questo per dire che si ottiene distorsione di fase? [/quote] Se assumiamo che $H(f)=z$ abbia un significato fisico, cosa che obiettava K.Lomax, ma diciamo che a noi interessava la parte di fase costante $Phi$, allora nel caso di fase costante si, si ha distorsione. Se infatti svolgi l'integrale dovresti trovarti una funzione della fase che non è lineare, cioè non è una retta.
".Bene, però tu lo hai voluto dimostrare per il solo caso FASE COSTANTE, e non per il caso RISPOSTA IN FASE GENERICA NON LINEARE.
Però aspetta, un conto è dire che non si ottiene distorsione di fase con una delta di dirac, e un altro è dire che TUTTE le risposte in fase devono avere la forma di una delta di dirac per non avere distorsione di fase (poi, comunque, lo so che è vero, è un'ovvietà). Io voglio dimostrarlo guardando il risultato sull'uscita.
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